[論文レビュー] Universal Malliavin Calculus in Fock and Lévy-Itô Spaces

David Applebaum|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般のヒルバート空間上のフォック空間における普遍的なマルヤヴィン計算を構築し、明確な定義域とL²ノルムの同値性を有する抽象的勾配および発散作用素を確立する。抽象的伊藤＝スコロフド等式を証明し、レヴィ過程への応用において、レヴィ＝イタ空間とフォック空間を同一視する双対変換を用いることで、マルヤヴィン微分作用素および発散作用素の最大定義域における主要な性質を導出する。

ABSTRACT

We review and extend Lindsay's work on abstract gradient and divergence operators in Fock space over a general complex Hilbert space. Precise expressions for the domains are given, the $L^2$-equivalence of norms is proved and an abstract version of the Itô-Skorohod isometry is established. We then outline a new proof of Itô's chaos expansion of complex Lévy-Itô space in terms of multiple Wiener-Lévy integrals based on Brownian motion and a compensated Poisson random measure. The duality transform now identifies Lévy-Itô space as a Fock space. We can then easily obtain key properties of the gradient and divergence of a general Lévy process. In particular we establish maximal domains of these operators and obtain the Itô-Skorohod isometry on its maximal domain.

研究の動機と目的

• 一般の確率モデルに依存しない、一般ヒルバート空間上のフォック空間における普遍的マルヤヴィン計算の構築。
• リンゼイの抽象的勾配および発散作用素を、定義域の特徴付け、ノルム同値性、等式性の完全な証明とともに拡張する。
• レヴィ＝イタ空間とフォック空間を同一視する双対変換を確立し、抽象的作用素から確率的計算への構造的性質の移行を可能にする。
• レヴィ過程における発散作用素の最大定義域上で、伊藤＝スコロフド等式を導出する。
• ガウス過程およびジャンプ型過程を含む、任意のホロノミック表現を有する過程に適用可能な、統一的枠組みを提供する。

提案手法

• 一般の複素ヒルバート空間上のフォック空間に、明確な定義域仕様を伴う普遍的消滅および生成作用素（∇⁻ および ∇⁺）を定義する。
• ノルムのL²同値性を示すことで証明する。すなわち、(I + N)⁻¹ᐟ² がL²空間と第一階Sobolev空間D²₁間のユニタリ同型写像であることを示す。
• 非予測的確率的計算における古典的等式を一般化する、抽象的伊藤＝スコロフド等式を確立する。
• 双対変換Uを用いて、レヴィ＝イタ空間とフォック空間を同一視し、多重ウィーナー＝レヴィ積分をフォック空間のベクトルへ写像する。
• レヴィ＝イタ分解におけるブラウン運動およびポアソン成分の独立性構造を活用し、勾配、発散、および数作用素をテンソル積に分解する。
• 分解された作用素を用いて、方程式 (5.31) の形で伊藤＝スコロフド等式を導出する。この等式はすべてのX, Y ∈ D²₁(H)に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的勾配および発散作用素は、一般ヒルバート空間上のフォック空間において、明確な定義域特徴付けを伴ってどのように厳密に定義可能か？
• RQ2 抽象的伊藤＝スコロフド等式と確率的計算における古典的等式の正確な関係は何か？
• RQ3 双対変換Uはどのようにしてレヴィ＝イタ空間とフォック空間を同一視し、この同型写像によって保存される構造的性質は何か？
• RQ4 レヴィ過程におけるマルヤヴィン微分作用素および発散作用素の最大定義域は何か？また、これらは抽象的作用素とどのように関係するか？
• RQ5 フォック空間の手法を用いて、レヴィ過程のクラウス分解を導出可能か？また、この枠組みはガウス過程およびジャンプ型過程の取り扱いを統一的に可能にするか？

主な発見

• 抽象的消滅作用素∇⁻の最大定義域は、数作用素を含む二乗可積分ノルムを持つフォック空間のベクトルとして特徴付けられる。
• ノルムのL²同値性は、(I + N)⁻¹ᐟ² がL²空間と第一階Sobolev空間D²₁間のユニタリ同型写像であることを示すことによって確立される。
• 普遍的生成作用素∇⁺に対して、抽象的伊藤＝スコロフド等式が証明され、古典的等式が抽象的フォック空間設定に一般化される。
• 双対変換Uにより、レヴィ＝イタ空間とフォック空間が同一視され、抽象的作用素の性質が確率的設定へ移行可能になる。
• レヴィ過程の勾配および発散作用素は、ブラウン運動およびポアソン成分のテンソル積に分解され、適切な定義域上でδ = (δB ⊗ I)π*₁ + (I ⊗ δN)π*₂が成り立つ。
• 伊藤＝スコロフド等式は、すべてのX, Y ∈ D²₁(H)に対して有効な形で、E(δ(X)δ(Y)) = ∫S E(X(s)Y(s))μ(ds) + ∫S∫S E(DtX(s)DsY(t))μ(ds)μ(dt) として回復される。