[論文レビュー] Universal Non-Invertible Symmetries

Lakshya Bhardwaj, Sakura Schäfer‐Nameki+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、d次元の量子場理論（QFT）における0形式対称性をゲージ化することで、同じ対称性を持つより低次元のトポロジカル量子場理論（TQFT）から成る、(d−1)-カテゴリ―としての双対対称性を有する普遍的な枠組みを導入する。主な貢献は、高次ゲージ化を用いて、非可逆的対称性を含むすべての双対対称性を捉えることであり、2次元の凝縮デフェクトの2カテゴリ―が具体的な実装を提供し、離散的または連続的で非連結なゲージ群を持つゲージ理論における非可逆的対称性の統一的かつ計算がより簡単なアプローチを提供する。

ABSTRACT

It is well-known that gauging a finite 0-form symmetry in a quantum field theory leads to a dual symmetry generated by topological Wilson line defects. These are described by the representations of the 0-form symmetry group which form a 1-category. We argue that for a d-dimensional quantum field theory the full set of dual symmetries one obtains is in fact much larger and is described by a (d-1)-category, which is formed out of lower-dimensional topological quantum field theories with the same 0-form symmetry. We study in detail a 2-categorical piece of this (d-1)-category described by 2d topological quantum field theories with 0-form symmetry. We further show that the objects of this 2-category are the recently discussed 2d condensation defects constructed from higher-gauging of Wilson lines. Similarly, dual symmetries obtained by gauging any higher-form or higher-group symmetry also form a (d-1)-category formed out of lower-dimensional topological quantum field theories with that higher-form or higher-group symmetry. A particularly interesting case is that of the 2-category of dual symmetries associated to gauging of finite 2-group symmetries, as it describes non-invertible symmetries arising from gauging 0-form symmetries that act on (d-3)-form symmetries. Such non-invertible symmetries were studied recently in the literature via other methods, and our results not only agree with previous results, but our approach also provides a much simpler way of computing various properties of these non-invertible symmetries. We describe how our results can be applied to compute non-invertible symmetries of various classes of gauge theories with continuous disconnected gauge groups in various spacetime dimensions. We also discuss the 2-category formed by 2d condensation defects in any arbitrary quantum field theory.

研究の動機と目的

• QFTにおけるグローバル対称性をゲージ化することで生じる双対対称性の完全な構造を理解すること、特に標準的なトポロジカルなウィルソン線以外の構造を含むこと。
• 双対対称性構造が(d−2)-形式対称性を超えて、より豊かな(d−1)-カテゴリ―のトポロジカルデフェクトであることを示すこと。
• 双対デフェクト、外部自己同型のゲージ化、凝縮デフェクトといった、さまざまな非可逆的対称性の構成を、1つの高次カテゴリカルな枠組みに統一すること。
• 有限または連続的で非連結なゲージ群を持つゲージ理論における非可逆的対称性を体系的に計算するための方法を提供すること。
• 2次元の凝縮デフェクトの2カテゴリ―が高次ゲージ化から自然に生じ、非可逆的対称性を普遍的に記述することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、d次元のQFT（0形式対称性Γ(0)を有する）と、同じΓ(0)対称性を有する低次元TQFT（例：1次元または2次元）との間の対角対称性をゲージ化することで双対対称性を構成する。
• 高次ゲージ化を用いて、余次元1以下のトポロジカルデフェクトを生成し、(d−1)-カテゴリ―としての対称性を構成する。ここで、対象はΓ(0)対称性を有するTQFTであり、射はインターフェースデフェクトである。
• 2次元の凝縮デフェクトの2カテゴリ―は2Rep(Γ(0))、すなわちΓ(0)の2表現カテゴリ―から導出され、単純対象はねじれセクターに対応し、射は真空ペアの表現または軌道によってラベル付けされる。
• 射の合成則は、インターフェースデフェクトの融合を通じて計算され、(3.31)および(3.34)といったカテゴリ理論の公式から導かれる。これらは自己準同型カテゴリ―とインターフェースの合成を計算する。
• 有限2群対称性にこのフレームワークを適用し、(d−3)-形式対称性に作用する0形式対称性をゲージ化すると、2カテゴリ―で記述される非可逆的対称性が得られることを示した。
• Γ(0)=Z2×Z2に対して明示的な計算を実施し、6つの単純対象を持つ2カテゴリ―構造を可視化し、表現理論およびスチャール乗数を用いて射のカテゴリ―を計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元QFTにおける0形式対称性をゲージ化することで生成される双対対称性の完全な代数的構造は何か？
• RQ2 ウィルソン線の高次ゲージ化から生じる非可逆的対称性は、低次元のトポロジカルデフェクトの構造とどのように関係しているか？
• RQ3 2次元の凝縮デフェクトの2カテゴリ―は、0形式対称性の高次ゲージ化から普遍的に得られるか？また、非可逆的対称性をどのように記述するか？
• RQ4 スチャール乗数およびねじれ表現は、双対(d−1)-カテゴリ―におけるTQFT間の射を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 このフレームワークは、非連結な連続的ゲージ群を持つゲージ理論における非可逆的対称性の計算をどのように簡略化するか？

主な発見

• 0形式対称性をゲージ化した後の双対対称性構造は、(d−2)-形式対称性を超えて、同じ0形式対称性を有するより低次元のTQFTから成る普遍的な(d−1)-カテゴリ―である。
• 2次元の凝縮デフェクトの2カテゴリ―が2Rep(Γ(0))と同型であることが示され、非可逆的対称性の具体的な実装が得られた。
• Γ(0)=Z2×Z2の場合、2カテゴリ―は6つの単純対象を持ち、射のカテゴリ―は、真空軌道構造に応じてRep(Z2)またはVecの直和として計算される。
• 商対称性Γ(0)/⟨x⟩およびΓ(0)/⟨y⟩を有するTQFT間の1次元射の合成は、2つのRep(Z2)のコピーに同型であることが示され、複数の真空軌道が反映されている。
• T(id)からT(Γ(0)/⟨xy⟩)へのインターフェースと、その後T(Γ(0))へのインターフェースを合成すると、表現や軌道に依存せず常に1つの1次元射が得られ、非自明な融合則が示された。
• このフレームワークは、他の手法から得られた既知の非可逆的対称性の結果を再現するが、計算の面で著しく単純化され、体系的な手法を提供する。