[論文レビュー] Universal objects and associations between classes of Banach spaces and classes of compact spaces

Piotr Koszmider|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、C(K)および双対単位球体を介したコンパクトハウスドルフ空間とバナッハ空間の間の双対性を用いて、さまざまなクラスにおける普遍バナッハ空間およびコンパクト空間の存在・非存在を調査する。非存在の証明において、コンパクト空間の方がバナッハ空間よりも一般的に容易であることが示され、特定の集合論的仮定のもとで、ℓ∞/c₀が密度2ωのバナッハ空間をすべて同型に含むとは限らないことが示唆される。

ABSTRACT

In the context of classical associations between classes of Banach spaces and classes of compact Hausdorff spaces we survey known results and open questions concerning the existence and nonexistence of universal Banach spaces and of universal compact spaces in various classes. This gives quite a complex network of interrelations which quite often depend on additional set-theoretic assumptions.

研究の動機と目的

• バナッハ空間のクラスとコンパクトハウスドルフ空間のクラスの間の双対性、特にC(K)および双対単位球体を介した相互作用を分析すること。
• これらのクラスにおける普遍性の概念（同型的、等長的、上への、単射的）の関係を明確化すること。
• さまざまな集合論的仮定のもとで、エーベリン、コルソン、アスプルンド生成空間などのクラスにおける普遍対象の一貫性を調査すること。
• ℓ∞/c₀が密度2ωのバナッハ空間のクラスに対して普遍空間として機能する条件、およびその失敗する条件を特定すること。
• 普遍コンパクト空間の存在に関する未解決問題を特定し、それらが普遍バナッハ空間に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• ボレル代数と完全に不連続なコンパクト空間の間のストーン双対性を、コンパクト空間とバナッハ空間の双対性の基礎的アナロジーとして用いる。
• コンパクト空間のクラスとバナッハ空間のクラスの間の関連性の概念（K-関連、B-関連、強く関連、関連）を定義し、比較する。
• 関数解析的技法を用い、C(K)空間および弱*位相を備えた双対単位球体B_{X^*}を研究する。
• 特にフォーシングモデルを用いて、ℓ∞/c₀への埋め込みに関する一貫性結果を確立する集合論的技法を適用する。
• クネン基数およびn-クネン基数を用い、κ = 2ωの組合せ的性質に基づいて、C(K)空間がℓ∞/c₀に同型に埋め込まれない場合を特徴付ける。
• ホルシュティンスキーの定理および測度代数に関する結果を用いて、ℓ∞/c₀への等長的および同型的埋め込みを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ∞/c₀が密度2ωのバナッハ空間のクラスに対して普遍的であることは一貫的であるが、[0,2ω]がℕ*の連続的像でない場合に、それが成り立つか？
• RQ2 C([0,2ω])がℓ∞/c₀に同型に埋め込まれるが、[0,2ω]がℕ*の連続的像でない場合に、それが可能か？
• RQ3 ℕ*が密度2ωのコンパクト空間のクラスに対して普遍的でないが、対応するバナッハ空間のクラスに対してℓ∞/c₀が普遍的であることは一貫的か？
• RQ4 コルソン空間または一様エーベリンコンパクト空間Kに対して、C(K)がℓ∞/c₀に同型に埋め込まれない条件は何か？
• RQ5 測度代数のストーン空間Kがℕ*の連続的像でないが、C(K) ≅ L∞([0,1])が still ℓ∞/c₀に同型に埋め込まれる状況はどのようなときか？

主な発見

• 密度2ωのバナッハ空間のクラスに対して普遍バナッハ空間が存在することは一貫的であるが、ℓ∞/c₀はそれらに含まれないことは一貫的である。
• 非存在の証明において、コンパクト空間の方がバナッハ空間よりも一般的に容易である。これは、より強い位相的制約があるためである。
• 2ωがいかなるnに対してもn-クネン基数でない場合、C(K)がℓ∞/c₀に同型に埋め込まれない一様エーベリンコンパクト空間Kが存在する。これは、あるモデルでは埋め込みが可能であるが、それとは対照的である。
• 0次元のコンパクト空間Kが存在し、[0,2ω]がKの連続的像でないが、C([0,2ω])がC(K)に同型に埋め込まれる。これは、位相的普遍性とバナッハ空間の普遍性の間のギャップを示している。
• 測度代数のストーン空間（L∞([0,1])に等長的である）はℕ*の連続的像でないが、ペルチェンスキーの定理により、C(K)は still ℓ∞/c₀に同型に埋め込まれる。
• [0,2ω]がℕ*の連続的像でない場合でも、ℓ∞/c₀が密度2ωのバナッハ空間のクラスに対して普遍的であることは一貫的である。これは、ℓ∞/c₀が位相的普遍性を必要としない普遍的性質を捉えることができる可能性を示唆している。