[論文レビュー] Universal Padé approximants on simply connected domains

Nicholas J. Daras, Grigorios Fournodavlos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素平面内の単連結領域上で、Padé近似に対する最初の一般普遍性結果を確立する。Baireのカテゴリ定理を用いて、$ A(\Omega) $ 内の全関数の $ G_\delta $ 稠密部分集合において、次数が増加するPadé近似の部分列が、連結な補集合を持つコンパクト集合 $ K \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上で任意の多項式を均一に近似することを証明する。また、$ \Omega $ が特定の位相的条件を満たす限り、関数自体も $ \Omega $ のコンパクト部分集合上で均一に近似される。

ABSTRACT

The theory of universal Taylor series can be extended to the case of Padé approximants where the universal approximation is not realized by polynomials any more, but by rational functions, namely the Padé approximants of some power series. We present the first generic result in this direction, for Padé approximants corresponding to Taylor developments of holomorphic functions in simply connected domains. The universal approximation is required only on compact sets $K$ which lie outside the domain of definition and have connected complement. If the sets $K$ are additionally disjoint from the boundary of the domain of definition, then the universal functions can be smooth on the boundary.

研究の動機と目的

• 単連結領域におけるPadé近似への普遍的テイラー級数理論の拡張。
• 領域の外部のコンパクト集合上で多項式を普遍的に近似するPadé近似を持つ全関数の存在を確立すること。
• 近似集合が $ \partial\Omega $ から離れている場合、普遍関数が境界に至るまで滑らかに拡張可能であることを保証すること。
• 位相的普遍性を用いて、$ A(\Omega) $ の稠密な $ G_\delta $ 部分集合にこのような普遍関数が存在することを証明すること。

提案手法

• コンパクト収束の位相における、$ \overline{\Omega} $ 上連続な全関数の空間 $ A(\Omega) $ にBaireのカテゴリ定理を適用する。
• Padé近似を生成するための、$ \tilde{p}_n \to \infty $ を満たす列 $ (\tilde{p}_n, \tilde{q}_n) $ を含む、$ \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ の部分族 $ \mathfrak{F} \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N} $ を定義する。
• $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ を exhaustion する連結な補集合を持つコンパクト集合列 $ K_m \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ と、同様に $ \Omega $ のコンパクト部分集合 $ L_m \subset \Omega $ を構成する。
• $ A(\Omega) $ の完備性とBaireのカテゴリ定理を用いて、普遍関数の集合が稠密かつ $ G_\delta $ であることを示す。
• このような関数に対して、Padé近似 $ [p_n/q_n]_{f,\zeta} $ が $ K $ 上で任意の多項式 $ P $ に均一収束し、$ \Omega $ のコンパクト部分集合上で $ f(z) $ に均一収束することを証明する。
• 近似集合 $ K $ が $ \partial\Omega $ から離れている場合、普遍関数が $ \overline{\Omega} $ に連続に拡張可能であり、近似が $ \Omega $ のコンパクト部分集合上で均一収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結領域 $ \Omega $ の外部のコンパクト集合上で、$ A(\Omega) $ の一般関数に対してPadé近似が多項式を普遍的に近似できるか。
• RQ2 普遍関数が $ \overline{\Omega} $ に連続に拡張可能となる条件は何か。
• RQ3 同じPadé近似列を用いて、$ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上で多項式と $ \Omega $ 上で関数自体を同時に近似可能か。
• RQ4 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ の位相、特に $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ の連結性が、普遍Padé近似の存在に与える影響は何か。
• RQ5 普遍近似を境界に限らず、$ \Omega $ のコンパクト部分集合に対しても拡張可能か。

主な発見

• 任意の単連結領域 $ \Omega \subset \mathbb{C} $ に対して、$ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ が連結で、$ \overline{\Omega}^o = \Omega $ を満たす場合、$ A(\Omega) $ の関数の稠密な $ G_\delta $ 部分集合が存在し、その関数のPadé近似 $ [p_n/q_n]_{f,\zeta} $ は、補集合が連結なコンパクト集合 $ K \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上で任意の多項式 $ P $ を均一に近似する。
• コンパクト集合 $ K $ が $ \partial\Omega $ から離れている場合、普遍関数 $ f $ は $ \overline{\Omega} $ に連続に拡張可能であり、近似は $ \Omega $ のコンパクト部分集合上で均一収束する。
• $ \Omega $ のコンパクト部分集合 $ L \subset \Omega $ 上で、関数 $ f $ へのPadé近似の収束は、変数 $ z \in L $ と中心 $ \zeta \in L $ の両方において、同じ列 $ (p_n, q_n) $ に対して一様である。
• このような普遍関数の集合は $ A(\Omega) $ において稠密かつ $ G_\delta $ であり、位相的意味での普遍性を示している。
• 結果は、すべての単連結領域 $ G \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ において一様に成り立ち、Weierstrassの定理によりすべての導関数の収束が保証される。
• Remark 3.6 で指摘されているように、非多項式関数 $ P \in A(K) $ への拡張は不可能である。