[論文レビュー] Universal Probability Distribution for the Wave Function of an Open Quantum System

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、大きな環境とエンタングルされた状態から導かれる開いた量子系の条件付き波動関数 ψ₁ が、一般にギャップ測度と呼ばれる普遍的な確率分布であるGAP測度に従うことを確立している。典型的なエンタングル状態において、与えられた縮約密度行列 ρ₁ を持つとき、ψ₁ の分布 µ₁ は GAP(ρ₁) に近い。弱い結合および狭いエネルギー窓の下では、GAP(ρβ) に近づき、ここで ρβ はカノニカル熱的密度行列である。これにより、GAP(ρβ) が熱的平衡分布として正当化される。

ABSTRACT

An open quantum system (i.e., one that interacts with its environment) is almost always entangled with its environment; it is therefore usually not attributed a wave function but only a reduced density matrix ρ. Nevertheless, there is a precise way of attributing to it a wave function ψ1, called its conditional wave function, which is a random wave function of the system whose probability distribution µ1 depends on the entangled wave function ψ ∈ H1 ⊗ H2 in the Hilbert space of system and environment together. We prove several universality (or typicality) results about µ1; they show that if the environment is sufficiently large then µ1 does not depend much on the details of ψ and is approximately given by one of the so-called GAP measures. Specifically, for most entangled states ψ with given reduced density matrix ρ1, µ1 is close to GAP (ρ1). We also show that, if the coupling between the system and the environment is weak, then for most entangled states ψ from a microcanonical subspace corresponding to energies in a narrow interval [E, E + δE] (and most bases of H2), µ1 is close to GAP (ρβ) with ρβ the canonical density matrix on H1 at inverse temperature β = β(E). This provides the mathematical justification of the claim that GAP (ρβ) is the thermal equilibrium distribution of ψ1.

研究の動機と目的

• エンタングルされた環境と結合する開いた量子系の条件付き波動関数 ψ₁ の確率分布を理解すること。
• この分布が、総合的エンタングル状態 ψ の具体的な詳細に依存するか、それとも普遍的であるかを特定すること。
• 固定された ρ₁ を持つ典型的なエンタングル状態に対して、ψ₁ の分布 µ₁ が数学的に GAP(ρ₁) に収束することを確立すること。
• 弱い結合および狭いエネルギー窓の下で、µ₁ が GAP(ρβ)、つまりカノニカル分布に近づくかどうかを調査すること。ここで ρβ は逆温度 β におけるカノニカル密度行列である。
• GAP(ρβ) が開いた量子系の波動関数の熱的平衡分布であるという主張に、厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• H₁ ⊗ H₂ に属するグローバルなエンタングル状態 ψ から導かれる H₁ 内のランダムベクトルとしての条件付き波動関数 ψ₁ を定義する。
• ボルン則を用いて、グローバル状態 ψ によって誘導される ψ₁ の確率分布 µ₁ を定義する。
• 量子統計力学における典型性の議論を適用し、固定された縮約密度行列 ρ₁ を持つほとんどのグローバル状態 ψ に対して、分布 µ₁ が GAP(ρ₁) に近いことを示す。
• エネルギーが [E, E + δE] の範囲にあるグローバル状態のマイクロカノニカル部分空間を導入し、この部分空間内の典型的な状態を検討する。
• 系と環境の結合が弱く、H₂ の典型的な基底が用いられる場合、ψ₁ の分布 µ₁ は、逆温度 β = β(E) に対応するカノニカル密度行列 ρβ に対する GAP(ρβ) に近いことを示す。
• 高次元ヒルバート空間における測度の集中現象を用いて、GAP測度の普遍性と典型性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き波動関数 ψ₁ の確率分布 µ₁ は、エンタングルグローバル状態 ψ の具体的な形に依存するのか、それとも固定された ρ₁ に対して普遍的なのか？
• RQ2 与えられた縮約密度行列 ρ₁ を持つ典型的なエンタングル状態において、分布 µ₁ は GAP(ρ₁) に近いか？
• RQ3 弱い結合および狭いエネルギー窓の下で、µ₁ は逆温度 β におけるカノニカル密度行列 ρβ に対応する熱的GAP測度 GAP(ρβ) に近づくか？
• RQ4 GAP(ρβ) の分布は、開いた量子系における ψ₁ の普遍的平衡分布か？
• RQ5 高次元量子状態の集中現象を用いて、µ₁ の典型性を厳密に証明できるか？

主な発見

• 固定された縮約密度行列 ρ₁ を持つほとんどのエンタングルグローバル状態 ψ に対して、条件付き波動関数 ψ₁ の分布 µ₁ は、GAP測度 GAP(ρ₁) に近い。
• 系と環境の結合が弱く、ψ がエネルギー [E, E + δE] のマイクロカノニカル部分空間から選ばれるとき、分布 µ₁ は、エネルギー E に対応する逆温度 β = β(E) を持つ GAP(ρβ) に近い。
• µ₁ が GAP(ρβ) に収束することは、マイクロカノニカル部分空間内のほとんどのグローバル状態 ψ および環境ヒルバート空間 H₂ のほとんどの基底に対して成り立つ。
• この結果により、GAP(ρβ) が開いた量子系の系の波動関数の熱的平衡分布であるという主張に、厳密な根拠が与えられる。
• GAP測度の普遍性は、エンタングル状態 ψ の具体的な詳細に依存しない、高次元ヒルバート空間における典型性に起因する。