[論文レビュー] Universal Proof Theory: Semi-analytic Rules and Uniform Interpolation

Amirhossein Akbar Tabatabai, Raheleh Jalali|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、部分構造論的およびモダール論理における、半解析的規則に基づく終了性を持つ多結論シーケント計算と一様埋め込み性の間の一般化された関係を確立する。任意の論理が、焦点化された公理と多結論半解析的規則を用いた終了性を持つ計算を持つ場合——例えば $\mathbf{FL_e}$, $\mathbf{FL_{ew}}$, $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{IPC}$, $\mathbf{CPC}$ およびそれらの $\mathbf{K}$ と $\mathbf{KD}$ 拡張——は一様埋め込み性を満たすことが示され、一方で $\mathbf{FL_e}$ の任意の拡張が、一様埋め込み性を備えていない限り、このような計算を持てないことが示され、$\mathbf{K4}$ や $\mathbf{S4}$ のような論理は、妥当な終了性を持つ計算を持てないことが排除される。

ABSTRACT

In \cite{Craig}, we introduced a syntactically defined and highly general class of calculi known as \emph{semi-analytic}. We then demonstrated that any sufficiently strong (modal) substructural logic with a semi-analytic calculus must satisfy the Craig interpolation property. In this paper, we show that if the calculus is also terminating in a certain formal sense, then its logic has the Uniform Interpolation Property (UIP). This result has significant applications. On the positive side, it provides a uniform and modular method for proving UIP for various logics, including $\mathsf{FL_e}$, $\mathsf{FL_{ew}}$, $\mathsf{CFL_e}$, $\mathsf{CFL_{ew}}$, and their $K$, $D$, and $T$-type modal extensions, as well as $\mathsf{CPC}$, $\mathsf{K}$, and $\mathsf{KD}$. However, its more striking consequence lies in the negative direction. It extends the negative results of \cite{Craig} to logics with CIP but without UIP. In particular, it shows that the modal logics $\mathsf{K4}$ and $\mathsf{S4}$ do not have a terminating semi-analytic calculus. extbf{keywords:} Uniform interpolation, Sequent calculi, Substructural logics, Modal logics, Subexponential modalities

研究の動機と目的

• 終了性を持つシーケント計算と一様埋め込み性の間の Iemhoff の関係を、超直観論理を超えて部分構造論的およびモダール論理へ一般化すること。
• 焦点化規則のクラスを超えて、多結論半解析的規則を含む規則のクラスを拡張すること。
• 広範な命題論理およびモダール論理の間で一様埋め込み性を証明する一様な手法を提供すること。
• 否定的結果を確立し、特定の規則タイプを備えた終了性を持つ計算を持つためには、論理がすでに一様埋め込み性を備えている必要があること、そうでなければそのような計算は存在しないことを示すこと。
• 普遍的証明理論の基盤を築くために、論理的正規性条件の観点から、終了性を持つ計算の存在を特徴づけること。

提案手法

• 多結論半解析的規則の概念を導入し、公式の出現と付加条件に構造的制約を課すことで、焦点化規則を一般化する。
• 焦点化公理を、原子的であり、付加条件制約を満たすものとして定義し、計算の終了性および一様埋め込みメカニズムとの整合性を保証する。
• 終了性を持つ計算におけるシーケントの複雑さに関する帰納法を用いて、任意の論理式に対して一様埋め込みを構成する。この際、計算の終了性によって誘導されるwell-founded順序に依存する。
• 任意のシーケントに対して、半解析的規則と $(L\to)$, $(R\to)$, $(R\vee)$ およびモダール規則 $K$ と $D$ などの構造的規則の再帰的適用によって、一様埋め込みの存在を導出する。
• 先行研究の定理（例：[7], [8]）を活用し、直観論理から部分構造論的およびモダール設定へ結果を移行させる。計算の終了性と規則構造を用いて、一様性を保証する。
• 特定の論理に結果を適用する際には、それらの標準的計算が要求される条件を満たしているかを検証する：半解析的規則、焦点化公理、および終了性（特に収縮がない場合）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終了性を持つシーケント計算と一様埋め込み性の関係を、超直観論理を超えて部分構造論的およびモダール論理へ拡張できるか？
• RQ2 焦点化規則を一般化する規則のクラスは何か？ そのクラスは、終了性を持つ計算において一様埋め込みを導出できる能力を保っているか？
• RQ3 この一般化された枠組みを用いて、どの論理が一様埋め込み性を示すことができるか？
• RQ4 一様埋め込み性を備えていない限り、特定の論理が、半解析的規則および焦点化公理を備えた終了性を持つシーケント計算を持てないという否定的結果は得られるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、$\mathbf{K4}$ や $\mathbf{S4}$ のような特定の論理に対して、妥当な終了性を持つ計算の存在を体系的に排除できるか？

主な発見

• 任意の $\mathbf{CFL_e}$ を含む多結論シーケント計算で、終了性を持つもので、焦点化公理と多結論半解析的規則から構成されるものについては、強い $H$-一様埋め込み性が成立する。
• $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{CPC}$ およびそれらの $\mathbf{K}$ と $\mathbf{KD}$ モダール拡張は、すべて一様埋め込み性を備えている。
• $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{CPC}$ の標準的収縮なし計算は、半解析的規則と焦点化公理のおかげで、一様埋め込み性の条件を満たしている。
• $\mathbf{FL_e}$ の任意の拡張が、半解析的規則およびコンテキスト共有半解析的規則と焦点化公理を備えた終了性を持つシーケント計算を持つためには、すでに一様埋め込み性を備えている必要がある。
• $\mathbf{K4}$ および $\mathbf{S4}$ の論理は、単一または多結論半解析的規則と焦点化公理を備えた終了性を持つシーケント計算を持たない。
• $\mathbf{IPC}$, $\mathbf{LC}$, $\mathbf{KC}$, $\mathbf{Bd_2}$, $\mathbf{Sm}$, $\mathbf{GSc}$, $\mathbf{CPC}$ を除き、超直観論理のいかなるものも、このような終了性を持つ計算を持たない。