[論文レビュー] Universal properties of penetrative turbulent Rayleigh--B\'enard convection in cold water near $4^\circ m{C}$

Wang, Qi, Reiter, Philipp+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 16

ひとこと要約

本研究は、4°C付近の冷水における密度最大の影響により生じる新しい制御パラメータである密度逆転パラメータ θm を有する、浸透乱流レイノルズ＝バーナード対流を調査する。理論的に導出され、数値的に検証された、レイノルズ数 Ra に依存しない普遍的関係式 θc(θm) = (1 + θm²)/2 が得られ、Ra に依存する臨界 θm,c において急激に低下する。また、熱伝達の普遍的スケーリング Nu(θm)/Nu(0) が確立された。

ABSTRACT

Penetrative turbulence, which occurs in a convectively unstable fluid layer and penetrates into an adjacent, originally stably stratified layer, is numerically and theoretically analyzed. We chose the most relevant example, namely thermally driven flow of water with a temperature around $T_m\approx 4^\circ m{C}$, where it has its density maximum. We pick the Rayleigh-B\'enard geometry with the bottom plate temperature $T_b > 4^\circ m{C}$ and the top plate temperature $T_t \le 4^\circ m{C}$. Next to the overall thermal driving strength set by the temperature difference $\Delta = T_b - T_t$ (the Rayleigh number $Ra$ in dimensionless form), the crucial new control parameter as compared to standard Rayleigh-B\'enard convection is the density inversion parameter $ heta_m \equiv (T_m - T_t ) / \Delta$. The crucial response parameters are the relative mean mid-height temperature $ heta_c$ and the overall heat transfer (i.e., the Nusselt number $Nu$). We theoretically derive the universal (i.e., $Ra$-independent) dependence $ heta_c ( heta_m) =(1+ heta_m^2)/2$, which holds for $ heta_m$ below a $Ra$-dependent critical value, beyond which $ heta_c ( heta_m)$ sharply decreases and drops down to $ heta_c=1/2$ at $ heta_m= heta_{m,c}$. Our direct numerical simulations with $Ra$ up to $10^{10}$ are consistent with these results. The critical density inversion parameter $ heta_{m,c}$ can be precisely predicted by a linear stability analysis. The heat flux $Nu( heta_m)$ monotonically decreases with increasing $ heta_m$ and we can theoretically derive a universal relation for the relative heat flux $Nu( heta_m)/Nu(0)$. Finally, we numerically identify and discuss rare transitions between different turbulent flow states for large $ heta_m$.

研究の動機と目的

• 水の密度最大が乱流レイノルズ＝バーナード対流に与える影響を理解すること。
• 密度逆転パラメータ θm = (Tm − Tt)/∆ が浸透対流における新しい制御パラメータとして果たす役割を特定・分析すること。
• レイノルズ数 Ra に依存しない中間高さ温度 θc および熱伝達 Nu(θm) の普遍的スケーリング則を導出し、検証すること。
• 直接数値シミュレーションを用いて、大規模な θm 値におけるまれな乱流状態遷移を調査すること。

提案手法

• 周期的水平境界および滑らかでない等温境界条件を有する2次元および3次元レイノルズ＝バーナード対流の数値シミュレーション。使用コードは2次精度有限差分法（AFiD）。
• 長さスケール H および速度スケール Uf = (gα∆qH)1/2 を用いた次元なし化処理。温度は θ = (T − Tt)/∆ としてスケーリング。
• 支配方程式には、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式（非線形浮力項 |θ − θm|q ez を含む）および温度の対流拡散方程式が含まれる。
• シミュレーション範囲は Ra = 10⁷ から 10¹⁰、Pr = 11.57（4°Cにおける水）、θm は 0 からほぼ 1 まで。2次元では Γ = 2、3次元では Γ = 4 を使用。
• 線形安定性解析により、θc が急激に減少し始める臨界密度逆転パラメータ θm,c を予測する。
• エネルギー収支および運動量収支の議論に基づき、θc(θm) および Nu(θm)/Nu(0) の普遍的関係式を理論的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度逆転パラメータ θm は、浸透対流における中間高さ温度 θc の普遍的スケーリングをどのように支配するか？
• RQ2 中間高さ温度プロファイル θc(θm) の Ra に依存しない理論的形は何か？ そして、その関係はどの θm で破綻するか？
• RQ3 熱伝達（ヌセルト数 Nu）はどのように普遍的に θm に依存するか？ また、Nu(θm)/Nu(0) のスケーリング則を導出できるか？
• RQ4 高 θm 値における乱流状態遷移はどのようなものか？ そして、それらは系の安定性とどのように関係するか？

主な発見

• θm が臨界値 θm,c 未満の場合、中間高さ温度 θc は普遍的関係式 θc(θm) = (1 + θm²)/2 に従う。
• θm,c を超えると、θc は急激に低下し、θm = 1 で 1/2 にまで低下する。これは対流的浸透の完全な抑制を示している。
• 臨界密度逆転パラメータ θm,c は線形安定性解析により正確に予測可能であり、強い層密度効果の発生を示す。
• ヌセルト数 Nu(θm) は θm の増加に伴い単調に減少し、理論的に普遍的スケーリング Nu(θm)/Nu(0) が導出された。
• 直接数値シミュレーション（Ra 最大 10¹⁰）により、θc(θm) の理論的予測および Nu(θm)/Nu(0) スケーリングの妥当性が確認された。
• 大規模な θm 値において、異なる乱流状態間のまれな遷移が数値的に観測され、完全に安定層密度状態に近い領域における複雑な力学的挙動が示された。