[論文レビュー] Universal Quantum Emulator

Iman Marvian, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 19

ひとこと要約

本論文は、未知のユニタリ変換の入力出力ペアの複数コピーと新しい入力状態を位相的に結合することで、ユニタリやサンプル状態の事前知識がなくても効率的にエミュレートできるユニバーサルな量子エミュレータを提案する。このアルゴリズムは、ヒルバート空間次元 D に対して対数的ランタイムを達成し、部分空間次元 d に対して多項式的サンプル複雑度を示す。これにより、D に線形にスケーリングする非コherentなトモグラフィー手法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We propose a quantum algorithm that emulates the action of an unknown unitary transformation on a given input state, using multiple copies of some unknown sample input states of the unitary and their corresponding output states. The algorithm does not assume any prior information about the unitary to be emulated or the sample input states. To emulate the action of the unknown unitary, the new input state is coupled to the given sample input-output pairs in a coherent fashion. Remarkably, the runtime of the algorithm is logarithmic in D, the dimension of the Hilbert space, and increases polynomially with d, the dimension of the subspace spanned by the sample input states. Furthermore, the sample complexity of the algorithm-i.e., the total number of copies of the sample input-output pairs needed to run the algorithm-is independent of D and polynomial in d. In contrast, the runtime and sample complexity of incoherent methods, i.e., methods that use tomography, are both linear in D. The algorithm is blind, in the sense that, at the end, it does not learn anything about the given samples or the emulated unitary. This algorithm can be used as a subroutine in other algorithms, such as quantum phase estimation.

研究の動機と目的

• 未知のユニタリ変換を、そのユニタリやサンプル状態の事前知識なしに、新しい入力状態上でエミュレートする量子アルゴリズムの開発。
• ヒルバート空間次元 D に線形にスケーリングする非コherentな手法（例えば状態トモグラフィー）の非効率性を克服すること。
• D が指数的に巨大であっても、低次元部分空間で効率的なエミュレートを可能にすること。
• ユニタリやサンプル状態を学習・保存しないブラインドなアルゴリズムを設計し、プライバシーを保ちつつサブルーチンとしての利用を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、制御操作を介して新しい入力状態と複数の未知のサンプル入出力ペアのコピーを位相的にエンタングルする。
• パrameterizedユニタリ V(λ) を、ランダムパラメータ λ の重ね合わせ状態でランダム化されたユニタリ相互作用に適用する。
• アドオンキュービットに対して射影測定を行い、その結果を用いて逆ユニタリ V†(λ) を条件付きで適用することで、量子チャネルを形成する。
• このプロセスを T 回繰り返し、成功確率は T に従って指数的に増加する。その割合は測定演算子の最小固有値 λ_min に依存する。
• アルゴリズムは、サンプル状態が張る部分空間の構造を活用し、全 D 次元ヒルバート空間ではなく、d 次元部分空間に限定して処理を行う。
• 出力状態の目的のターゲット状態との忠実度は、1 - (1 - λ_min)^T 以上であると保証され、高忠実度のエミュレートが可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知のユニタリ変換を、そのユニタリや状態の事前知識なしに、サンプル入出力ペアのみを用いて新しい入力状態上でエミュレートできるか？
• RQ2 高忠実度エミュレートを達成するために必要な最小のサンプルコピー数は何か？ これは系のサイズにどのように依存するか？
• RQ3 コherentな量子操作は、ランタイムとサンプル複雑度の観点で、非コherentなトモグラフィー手法を上回れるか？
• RQ4 ヒルバート空間の低次元部分空間を利用することで、エミュレートの指数的高速化が可能か？
• RQ5 エミュレータは、ユニタリやサンプルの情報を露呈せずに、より大きな量子アルゴリズムのサブルーチンとして利用可能か？

主な発見

• アルゴリズムのランタイムは O(log D) に比例する。ここで D はヒルバート空間次元であり、非コherentなトモグラフィー手法が D に線形にスケーリングするのに対し、指数的高速化を達成する。
• サンプル複雑度（サンプル入出力ペアの総コピー数）は D に依存せず、サンプル状態が張る部分空間の次元 d に対して多項式的である。
• 出力状態の目的のターゲット状態との忠実度は、1 - (1 - λ_min)^T 以上に下界づけられる。ここで λ_min は測定演算子の最小固有値、T は反復回数である。
• アルゴリズムはブラインドである：ユニタリやサンプル状態に関する情報を学習・保存しないため、プライバシーが保たれる。
• ユニタリの作用が低次元部分空間でのみ必要となる状況では、非コherentな測定・回転戦略を上回る性能を示す。
• 高忠実度とブラインド性のおかげで、量子位相推定などのより大きな量子アルゴリズムのサブルーチンとして利用可能である。