[論文レビュー] Universal spacetimes

Sigbjørn Hervik, Vojtěch Pravda+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、すべての対称的保存ランク2テンソルが計量の倍数であるような普遍的時空の広いクラスを導入し、それが必然的にCSI時空であり、タイプNの普遍的時空がアインシュタイン・クンドト時空として完全に特徴付けられることを示している。この研究は、リッチ平坦なpp波を超えて、非ゼロの宇宙定数および非ゼロのベクトル場解を含む既知の結果を拡張している。

ABSTRACT

Universal spacetimes are spacetimes for which all conserved symmetric rank-2 tensors, constructed as contractions of polynomials from the metric, the Riemann tensor and its covariant derivatives of arbitrary order, are multiples of the metric. Consequently, metrics of universal spacetimes solve vacuum equations of all gravitational theories with Lagrangian being a polynomial curvature invariant constructed from the metric, the Riemann tensor and its derivatives of arbitrary order. In the literature, universal metrics are also discussed as metrics with vanishing quantum corrections and as classical solutions to string theory. Widely known examples of universal metrics are certain Ricci-flat pp waves. In this paper, we start a general study of geometric properties of universal metrics in arbitrary dimension and we arrive at a broader class of such metrics. In contrast with pp waves, these universal metrics also admit non-vanishing cosmological constant and in general do not have to possess a covariantly constant or recurrent null vector field. First, we show that a universal spacetime is necessarily a CSI spacetime, i.e. all curvature invariants constructed from the Riemann tensor and its derivatives are constant. Then we focus on type N spacetimes, where we arrive at a simple necessary and sufficient condition: a type N spacetime is universal if and only if it is an Einstein Kundt spacetime. A class of type III Kundt universal metrics is also found. Several explicit examples of universal metrics are presented.

研究の動機と目的

• 既知のリッチ平坦なpp波を超えて、普遍的時空のクラスを一般化すること。
• 非ゼロの宇宙定数を含む幾何的条件が、時空が普遍的であるためのものであることを特定すること。
• 普遍的時空が、すべての曲率不変量が一定であるCSI時空でなければならないことを確立すること。
• タイプNの普遍的時空を、必要十分条件として：アインシュタイン・クンドト時空であることとして特徴付けること。
• 具体的な普遍的計量の例を構成すること、特にタイプIIIのクンドト普遍的計量のクラスを含むこと。

提案手法

• 普遍的時空を、計量、リーマンテンソル、およびそれらの共変微分の多項式から形成されるすべての保存的対称ランク2テンソルが計量に比例するような時空として定義する。
• このような時空が、リーマンテンソルとその共変微分から構成されるすべてのスカラー曲率不変量が一定であるCSI時空でなければならないことを示す。
• タイプN時空の場合、必要十分条件を導出する：タイプN時空が普遍的であるための必要十分条件は、それがアインシュタイン・クンドト時空であることである。
• この手法はタイプIII時空へも拡張され、クンドト幾何と曲率制約を用いて普遍的計量のクラスが同定される。
• 具体的な普遍的計量の例が構成され、pp波を超えたこのような解の存在が示される。
• 微分幾何と代数的曲率解析を活用するフレームワークが構築され、特にウェイルテンソルの構造とそのアライメント性質に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意次元において、リッチ平坦なpp波を超えて、普遍的時空を特徴付ける幾何的条件は何か？
• RQ2 普遍的時空は非ゼロの宇宙定数を有し得るが、それでも普遍的条件を満たすことができるか？
• RQ3 タイプN時空が普遍的であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 どのクラスのタイプIII時空が普遍的とみなされ、どのように体系的に構築できるか？
• RQ5 すべての普遍的時空は、共変定値または再帰的ヌルベクトル場を必然的に持つのか？

主な発見

• 普遍的時空は必然的にCSI時空であり、リーマンテンソルとその共変微分から構成されるすべての曲率不変量が一定である。
• タイプN時空が普遍的であるための必要十分条件は、それがアインシュタイン・クンドト時空であることである。このクラスに対する完全な特徴付けが得られた。
• 普遍的計量のクラスはpp波を越えて、非ゼロの宇宙定数を持つ解を含む。
• タイプIIIのクンドト時空の族が普遍的であると特定され、ヌルベクトル場を必要としないような計量が存在しうることを示している。
• 具体的な普遍的計量の例が構成され、理論的枠組みの妥当性が確認され、結果の広範な適用可能性が示された。
• 結果から、普遍的計量が、多項式曲率不変量から構成されるラグランジアンを持つすべての真空重力理論の運動方程式を満たすことが示された。