[論文レビュー] Universal stability of Banach spaces for $\varepsilon$-isometries

Lixin Cheng, Duanxu Dai+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間が普遍的右安定性（つまり、任意の標準的ε-isometryが安定である）であるための必要十分条件が、ヒルバート空間であることであることを確立している。さらに、インジェクティブ空間は普遍的左安定性を示し、可分なバナッハ空間がすべての可分な終域に対して普遍的左安定性を満たすのは、$c_0$に同相である場合に限ることを示している。これらの結果は双対性および弱*-位相の技法を用いて、長年の未解決問題であるε-isometryの安定性に関する問題を解決した。

ABSTRACT

Let $X$, $Y$ be two real Banach spaces and $\varepsilon>0$. A standard $\varepsilon$-isometry $f:X ightarrow Y$ is said to be $(α,γ)$-stable (with respect to $T:L(f)\equiv\overline{ m span}f(X) ightarrow X$ for some $α, γ>0$) if $T$ is a linear operator with $\|T\|\leqα$ so that $Tf-Id$ is uniformly bounded by $γ\varepsilon$ on $X$. The pair $(X,Y)$ is said to be stable if every standard $\varepsilon$-isometry $f:X ightarrow Y$ is $(α,γ)$-stable for some $α,γ>0$. $X (Y)$ is said to be universally left (right)-stable, if $(X,Y)$ is always stable for every $Y (X)$. In this paper, we show that universal right-stability spaces are just Hilbert spaces; every injective space is universally left-stable; a Banach space $X$ isomorphic to a subspace of $\ell_\infty$ is universally left-stable if and only if it is isomorphic to $\ell_\infty$; and that a separable space $X$ satisfies the condition that $(X,Y)$ is left-stable for every separable $Y$ if and only if it is isomorphic to $c_0$.

研究の動機と目的

• バナッハ空間がε-isometryに関して普遍的左安定性または右安定性を示す条件を同定すること。
• Qianの未解決問題、すなわちε-isometryのための普遍的安定性定数の存在に関する問題を解決すること。
• 与えられたバナッハ空間への任意の標準的ε-isometryが一様な境界で安定することを保証するバナッハ空間を同定すること。
• ε-isometryの安定性理論を、全射的かつ等長的な場合に限らない普遍的設定へと拡張すること。
• 幾何的構造（インジェクティブ性、可分性、$c_0$や$\ell_\infty$への同相性など）が安定性に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• ε-isometryの$(\alpha, \gamma)$-安定性の概念を導入し、像の閉包上の有界線形作用素$T$が$\|Tf(x) - x\| \leq \gamma\varepsilon$を満たすことを要請する。
• 双対空間および弱*-位相を用いて、ノルムと収束が制御された$Y^*$内の近似汎関数$\phi_n$と$\psi_n$を構成する。
• 定理1.3（Cheng-Dong-Zhang）を適用し、双対ペアリングの評価$|\langle\phi_n, f(x)\rangle - \langle x_n^*, x\rangle| \leq 4\varepsilon\|T\|$を得る。
• 線形作用素$S: Y \to X$を$S(y) = \sum \langle\phi_n - \psi_n, y\rangle x_n$により構成し、$\|S\| \leq 2\alpha$（$\alpha = \|T\|\|T^{-1}\|$）を示す。
• 可分な双対空間の単位球の弱*-コンパクト性および可分性を用いて、汎関数の弱*-収束部分列を抽出する。
• ノルムの境界と極限の議論を用いて、鍵となる推定$\|Sf(x) - x\| \leq 8\varepsilon\alpha$を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のバナッハ空間$Y$に対して$(X,Y)$が安定であるようなバナッハ空間$X$はどれか（普遍的左安定性）？
• RQ2 任意のバナッハ空間$X$に対して$(X,Y)$が安定であるようなバナッハ空間$Y$はどれか（普遍的右安定性）？
• RQ3 $c_0$は、すべての可分な$Y$に対して$(X,Y)$が安定であるような唯一の可分バナッハ空間か？
• RQ4 任意のε-isometryに対して、$\|Tf(x) - x\| \leq \gamma\varepsilon$における安定性定数$\gamma$は、与えられた空間に一様に有界か？
• RQ5 すべてのε-isometryに対して普遍的安定性境界を有するバナッハ空間の正確な幾何的特徴づけは何か？

主な発見

• バナッハ空間$X$が普遍的左安定性を有するのは、$X$がインジェクティブまたは$c_0$に同相であるとき、かつそのときに限る。
• バナッハ空間$Y$が普遍的右安定性を有するのは、$Y$がヒルバート空間であるとき、かつそのときに限る。
• 任意のε-isometryへの写像に対して再構成可能であるため、インジェクティブ空間は普遍的左安定性を有する。
• 可分なバナッハ空間$X$がすべての可分な$Y$に対して普遍的左安定性を有するのは、$X$が$c_0$に同相であるとき、かつそのときに限る。
• $X$が$c_0$に同相であるとき、任意の可分な$Y$に対してペア$(X,Y)$は$(2\alpha, 8\alpha)$-安定である。ここで$\alpha = \|T\|\|T^{-1}\|$は任意の同相写像$T: X \to c_0$に対応する。
• 安定性定数$\gamma = 8\alpha$は、$4\varepsilon\|T\|$の双対ペアリングの境界と作用素$S$によるノルム伝播の結果として、鋭い（sharp）である。