[論文レビュー] Universal time delay in static spherically symmetric spacetimes for null and timelike signals

Haotian Liu, Junji Jia|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、弱場条件下における任意の静的球対称（SSS）時空において、光線および時間的信号の総移動時間と遅延を摂動的手段で計算する手法を提示する。この手法は逆インパクトパラメータに関する級数展開を用い、一次遅延が信号の種別（例えば光子、ニュートリノ、重力波）や高次の計量詳細に依存せず、常に時空の質量 M とポストニュートンパラメータ γ のみに依存することを明らかにする。

ABSTRACT

A perturbative method to compute the total travel time of both null and lightlike rays in arbitrary static spherically symmetric spacetimes in the weak field limit is proposed. The resultant total time takes a quasi-series form of the impact parameter. The coefficient of this series at a certain order $n$ is shown to be determined by the asymptotic expansion of the metric functions to the order $n+1$. To the leading order(s), the time delay, as well as the difference between the time delays of two kinds of relativistic signals, is then shown to take a universal form for all SSS spacetimes. This universal form depends on the mass $M$ and a post-Newtonian parameter $\gamma$ of the spacetime. The analytical result is numerically verified using the central black hole of M87 as the gravitational lensing center.

研究の動機と目的

• 任意の静的球対称（SSS）時空における総移動時間および遅延を計算する一般化された摂動的手法の開発。
• 時間遅延解析を光線に限らず、質量のあるニュートリノや重力波などの時間的信号へと拡張すること。
• 弱場重力レンズにおける時間遅延に顕著な影響を及ぼす時空パラメータ（特に質量 M や γ 以外のパラメータ）を特定すること。
• M87 超大質量ブラックホールをレンズとして用い、解析的結果を数値的に検証すること。

提案手法

• エネルギー E および角運動量 L の保存量を用いて、一般 SSS計量における光線および時間的信号の測地線方程式を導出する。
• p(1/r) = 1/b における逆関数を用いた変数変換を導入し、移動時間積分を u/b の関数に変換する。ここで u はインパクトパラメータに関連する新たな変数である。
• 得られた被積分関数を u/b のべき級数として展開し、計量関数 A(r)、B(r)、C(r) の漸近的展開に依存する係数 yn を持つ準級数形の総時間を得る。
• ラグランジュ逆定理を用いて、逆関数 q(x) を明示的に解かずに係数 yn を計算する。
• さらに変数変換 u = sinθ を行い、角度積分を簡略化し、1/b に関する閉形式の級数としての総時間の表現を得る。
• 弱場近似（b ≫ M, rs,d ≫ b）を適用し、1/b および β のべき級数に展開することで、時間遅延の簡潔な解析的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱場 SSS 時空における相対論的信号の時間遅延の普遍的形は何か？ これは特定の時空詳細に依存しないか？
• RQ2 光線と時間的信号の時間遅延にはどのような相違があり、それらの一次行動は何かに依存するか？
• RQ3 計量展開におけるパラメータ（例えば M, γ, および高次の an, bn, cn）の中で、弱場領域で時間遅延に顕著な影響を及ぼすのはどれか？
• RQ4 光子とニュートリノなどの2種類の信号間の時間遅延差は、M と γ のみに依存する普遍的形で表せるか？
• RQ5 本手法は、M87 ブラックホールによるレンズ効果といった現実の天体物理学的状況において、どのように機能するか？

主な発見

• 任意の SSS 時空において、光線および時間的信号の一次遅延は、計量の高次係数に依存せず、常に質量 M とポストニュートンパラメータ γ のみに依存する普遍的形を取る。
• 総移動時間は 1/b に関する準級数として表現され、最初の2項（n = -1 および n = 0）が一次遅延を十分に捉える。
• M87 ブラックホール（M = 6.5×10^6 M⊙, rd = 16.8 Mpc）において、数値的結果が、源の距離、インパクトパラメータ、信号速度の変動に対しても解析的予測を確認する。
• 速度 v1 および v2 の2つの信号間の時間遅延差は、M と γ にのみ依存する普遍的形で表され、一次項は ∆v = v1 − v2 に比例する。
• η ≪ 1（小さな源角）のとき、時間遅延差の両項は同程度のオーダーである。η ≫ 1 のとき、最初の項が支配的になる。
• 有効電荷および高次のパラメータ（n ≥ 2 の an, bn, cn など）は、弱場近似下で一次遅延にほとんど影響しないことが確認された。