[論文レビュー] Universal Translationally-Invariant Hamiltonians

Stephen Piddock, Johannes Bausch|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Quantum many-body systems参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最近接相互作用を有する2次元クーディット格子上に、翻訳不変な普遍的量子シミュレータを構築する。ヒストリーレイアウトとタイリング技術を用いて、目的のハミルトニアンのスペクトルをシミュレータの低エネルギー部分空間に埋め込む。主な結果は、任意の局所的ハミルトニアンを、翻訳不変な結合を唯一のものとして、任意の精度でシミュレートできることであり、これは、多体局在化のような複雑な現象が、翻訳不変系においても出現しうることを示唆している。

ABSTRACT

In this work we extend the notion of universal quantum Hamiltonians to the setting of translationally-invariant systems. We present a construction that allows a two-dimensional spin lattice with nearest-neighbour interactions, open boundaries, and translational symmetry to simulate any local target Hamiltonian---i.e. to reproduce the whole of the target system within its low-energy subspace to arbitrarily-high precision. Since this implies the capability to simulate non-translationally-invariant many-body systems with translationally-invariant couplings, any effect such as characteristics commonly associated to systems with external disorder, e.g. many-body localization, can also occur within the low-energy Hilbert space sector of translationally-invariant systems. Then we sketch a variant of the universal lattice construction optimized for simulating translationally-invariant target Hamiltonians. Finally we prove that qubit Hamiltonians consisting of Heisenberg or XY interactions of varying interaction strengths restricted to the edges of a connected translationally-invariant graph embedded in $\mathbb{R}^D$ are universal, and can efficiently simulate any geometrically local Hamiltonian in $\mathbb{R}^D$.

研究の動機と目的

• 境界が開いているにもかかわらず、翻訳不変である普遍的シミュレータハミルトニアンの存在を確立すること。
• 翻訳不変系が、不規則性や局在性を有する任意の局所的ハミルトニアンをシミュレートできることを示すこと。
• ヒストリーレイアウトとタイリング技術を用いて、計算と目的のハミルトニアンのパラメータを符号化する普遍的シミュレータを構築すること。
• R^D 上の翻訳不変グラフにおけるヘイゼンベルクまたはXY相互作用が、R^D 上の任意の幾何的局所ハミルトニアンを、効率的にシミュレートできることを証明すること。
• シミュレーションの精度が系のサイズと逆誤差の多項式スケーリングに従い、結合の翻訳不変性を維持すること。

提案手法

• 境界が開いている2次元クーディット格子を構築し、局所的かつ最近接相互作用を翻訳不変に設定する。
• タイリング構成を用いて、格子の左端と下端に、横幅Wと高さHを2進数として符号化する。
• 量子チューリングマシンを左下隅から開始し、マークされた三角形領域および正方形領域を走査するヒストリーレイアウトハミルトニアンを定義する。
• Solovay-Kitaev近似を用いて単一クビット回転を実装し、目的のハミルトニアンのパラメータ（例：結合強度）をシステムに符号化する。
• 摂動論的技法を用いて、射影ハミルトニアンが所望の部分空間に射影するようにし、目的のハミルトニアンを有効な低エネルギー理論として埋め込む。
• 摂動的ガジェットを適用し、ヒストリーレイアウトハミルトニアンを、調整可能なスケーリングパラメータΔ₁, Δ₂を有する普遍的シミュレータハミルトニアン H_sim = Δ₁H₁ + Δ₂H₂ に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 翻訳不変ハミルトニアンは、任意の局所的量子ハミルトニアンを任意の精度でシミュレート可能か？
• RQ2 通常は不規則系に特徴づけられる多体局在化が、翻訳不変系においても出現可能か？
• RQ3 2次元格子上に、最近接相互作用と翻訳不変性のみを用いて、普遍的シミュレータを構築可能か？
• RQ4 翻訳不変結合を用いて、与えられた目的のハミルトニアンをシミュレートするために必要な最小リソースコスト（格子サイズ、局所次元）は何か？
• RQ5 R^D 上の翻訳不変グラフにおけるヘイゼンベルクまたはXY相互作用は、R^D 上の任意の幾何的局所ハミルトニアンを効率的にシミュレート可能か？

主な発見

• 最近接相互作用と境界が開いている2次元クーディット格子上に、翻訳不変な普遍的シミュレータハミルトニアン H_sim が存在する。
• シミュレータは、系のサイズ W×H = poly(Δ, 1/η, 1/ϵ, J_max) × 2^poly(n) に対して、任意の局所的目的ハミルトニアン H_target を精度 ϵ でシミュレート可能であり、ここで n は H_target のクーディット数である。
• スケーリングパラメータは Δ₁ = W⁵H⁵ および Δ₂ = WH であり、有効な目的ハミルトニアンの正しいエネルギースケールを保証する。
• ヒストリーレイアウト技術とタイリングを用いて、格子の寸法と目的の結合パラメータをシステムに符号化している。
• 有効な低エネルギーハミルトニアンは、摂動的ガジェットとSolovay-Kitaev近似により、誤差 ‖H̃_target − H_target‖ ≤ ϵ/2 で H_target を近似する。
• R^D 上の翻訳不変グラフにおけるヘイゼンベルクまたはXY相互作用は、R^D 上の任意の幾何的局所ハミルトニアンを効率的にシミュレート可能であり、このような相互作用タイプの普遍性を証明している。