[論文レビュー] Universal Witnesses for State Complexity of Basic Operations Combined with Reversal

Janusz Brzozowski, David Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、普遍的証人オートマトン $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及びその変種（置換的および弁証的形態を含む）が、正則言語に適用されるすべての基本的演算—論理演算、連結、スターリング、反転—に対して、タイトな状態複雑性上限を達成することを確立している。$3 \cdot 2^{m+n-2}$ が連結の反転 $(KL)^R = L^R K^R$ のタイトな上限であることを証明し、普遍的証人フレームワークを用いた体系的到達可能性および区別可能性の証明により、反転を含むすべての他の演算についてもタイト性を確認している。

ABSTRACT

We study the state complexity of boolean operations, concatenation and star with one or two of the argument languages reversed. We derive tight upper bounds for the symmetric differences and differences of such languages. We prove that the previously discovered bounds for union, intersection, concatenation and star of such languages can all be met by the recently introduced universal witnesses and their variants.

研究の動機と目的

• 正則言語の基本的演算に反転を組み合わせた際の状態複雑性のタイトな上限を特定すること。
• 普遍的証人 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及びその変種が、反転を含むすべての演算における既知のタイトな上限に達することを示すこと。
• 置換的同値性および普遍的証人の方言を活用することで、複数の演算の証人構成を統一すること。
• 単一の普遍的証人フレームワークを用いて、多様な演算にわたる状態複雑性上限の証明を簡素化および一般化すること。

提案手法

• 普遍的証人 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ を、$n$ 個の状態、アルファベット $\{a,b,c\}$ 上で定義された標準的な DFA として用い、特定の状態遷移と単一の受理状態を持つ。
• 置換的同値性を適用して、$\mathcal{U}_n(b,a,c)$ や $\mathcal{U}_n(d,c,b,a)$ のような変種を生成し、文字の置換によって状態複雑性の性質を保持する。
• 普遍的証人の方言、例えば $U_{\{0\},n}(a,b,c)$ や $V_n(a,b,c,d)$ を用いて、スターリングや反転などの特定の演算をモデル化し、受理状態集合を異なるものに設定する。
• 入力文字列 $\{b,c,d\}^*$ 及び $\{a,b,c\}^*$ を用いた帰納的構成により、積オートマトンにおける $2^{n+m-1} + 2^{n+m-2} = 3 \cdot 2^{n+m-2}$ 個の状態の到達可能性を証明する。
• 状態の区別可能性は、$a^k$ 及び $d^l a^{k+1}$ の変換を用いて、$Q_2$ および $Q_1$ への属性に基づいて部分集合を分離することで確立する。
• 同じ証人構造を用い、受理状態を変更することで、$K^R L$、$KL^R$、$K \cup L^R$、$K \cap L^R$、$(L^*)^R$ などの演算へ証明フレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍的証人 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及びその変種は、基本的演算と反転のすべての組み合わせに対して、タイトな状態複雑性上限に達することができるか？
• RQ2 $(KL)^R = L^R K^R$ の上限 $3 \cdot 2^{m+n-2}$ はタイトであり、普遍的証人フレームワークを用いて達成可能か？
• RQ3 置換的同値性および普遍的証人の方言を用いることで、反転を含む複数の演算にわたる証明を簡素化および統一できるか？
• RQ4 $K^R L$、$KL^R$、$K \cup L^R$ の状態複雑性は、普遍的証人に関してどうなっており、それがタイトか？
• RQ5 普遍的証人フレームワークは、スターリング演算の反転、$(L^*)^R = (L^R)^*$ に対してもタイトな上限を達成するか？

主な発見

• 連結の反転 $(KL)^R = L^R K^R$ は、タイトな状態複雑性上限 $3 \cdot 2^{m+n-2}$ を有し、これが普遍的証人 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ によって達成される。
• 反転を含む既知のすべてのタイトな上限（和、積、連結、スターリング、およびその変種）は、普遍的証人 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及びその置換的および弁証的変種を用いて達成可能である。
• 受理状態集合 $\{0\}$ を持つ普遍的証人 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ は、スターリング演算の反転 $(L^*)^R = (L^R)^*$ に対して、タイトな上限 $2^n$ を達成する。
• $K$ と $L^R$ の積オートマトンは、正確に $3 \cdot 2^{m+n-2}$ 個の状態に達し、$q_0$ を含まない状態が $2^{n+m-1}$ 個、$q_0$ と $m-1$ の両方を含む状態が $2^{n+m-2}$ 個あり、これらすべてが到達可能である。
• 積オートマトンのすべての状態は、互いに区別可能である：$Q_2$ の部分集合が異なる状態は $a^k$ で分離され、$Q_2$ の成分が異なる状態は $d^l a^{k+1}$ を用いて $Q_1$ の部分集合の違いに基づいて分離される。
• 普遍的証人の方言および置換的変種の使用により、反転を含む複数の演算にわたる証明フレームワークが統一され、証明が簡素化および一般化される。