[論文レビュー] Universality and extremal aging for dynamics of spin glasses on sub-exponential time scales

Gérard Ben Arous, Onur Gün|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Theoretical and Computational Physics参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、シャーリングトン＝キルカパ（SK）模型およびpスピンスピンガラスのランダム飛躍時間（RHT）ダイナミクスが、指数時間スケール未満の時間スケールにおいて普遍性および極値的年齢化を示す。時計過程が極値過程に収束することを証明し、系はランダムエネルギー模型（REM）と類似した年齢化挙動を示す。これは、ボーショのトラップ模型が、以前はその普遍性の範囲外にあったSK模型に対しても、普遍的な年齢化機構であることを確認するものである。

ABSTRACT

We consider Random Hopping Time (RHT) dynamics of the Sherrington - Kirkpatrick (SK) model and p-spin models of spin glasses. For any of these models and for any inverse temperature we prove that, on time scales that are sub-exponential in the dimension, the properly scaled clock process (time-change process) of the dynamics converges to an extremal process. Moreover, on these time scales, the system exhibits aging like behavior which we called extremal aging. In other words, the dynamics of these models ages as the random energy model (REM) does. Hence, by extension, this confirms Bouchaud's REM-like trap model as a universal aging mechanism for a wide range of systems which, for the first time, includes the SK model.

研究の動機と目的

• 指数的時間スケールを超える平均場スピンガラスにおける年齢化挙動の普遍性を確立すること。
• ボーショのREMに類似たトラップ模型が、普遍的な年齢化機構としてSK模型へも拡張可能であることを示すこと。
• 平衡状態に達していない状態における、SKおよびpスピン模型のダイナミクスを、指数的時間スケール未満の時間スケールで分析すること。
• これらの時間領域における時計過程および最大過程の極限挙動を特徴づけること。
• 「極値的年齢化」という概念を導入し、形式化すること。

提案手法

• エネルギーの分布に依存する遷移確率を持つN次元ハイパーキューブ上でのランダム飛躍時間（RHT）ダイナミクスを分析する。
• 逆温度βにおけるギブス測度を用いてダイナミクスを定義し、各状態の滞在時間はそのエネルギーに従って指数分布に従う。
• 時計過程を、訪問した状態に費やされた累積時間を追跡する時間変換された過程として導入する。
• 正規化された時計過程が極値過程に弱収束することを証明し、指数的時間スケールでは古典的な安定的下方微分作用素に代わるものであることを示す。
• 極値理論およびポアソン点過程の極限を用いて、スケーリングされた過程の範囲および到達挙動を特徴づける。
• カップリングの議論とモーメント推定を用いて、深く険しいトラップへの複数回の訪問確率を制御し、最も深いトラップがダイナミクスを支配することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SK模型は指数的時間スケール未満の時間スケールで年齢化挙動を示すか？ もしそうならば、その年齢化の性質は何か？
• RQ2 以前はその結果の範囲外にあったSK模型に対し、REMに類似したトラップ模型の普遍性を拡張できるか？
• RQ3 平均場スピンガラスのRHTダイナミクスにおいて、指数的時間スケール未満の時間スケールにおける時計過程の極限挙動は何か？
• RQ4 この時間領域において、時間の経過とともにダイナミクスはどのように最も深いトラップに集中するか？
• RQ5 時間スケールが指数的ではなく指数的時間スケール未満のとき、年齢化の極限において古典的な安定的下方微分作用素に代わるものは何か？

主な発見

• RHTダイナミクスの時計過程は、指数的時間スケール未満の時間スケールで弱収束し、極値過程に収束する。これは、古典的な安定的下方微分作用素に代わるものである。
• ダイナミクスは「極値的年齢化」に支配され、最も深いトラップにのみほとんど時間を使い、浅いトラップへの滞在時間は無視できるほど小さい。
• 時刻t(N)とt(N)(1+θ)^{1/α_N}における配置間の重なり分布の極限が(1/(1+θ))^{1/β²}に収束することを確認し、REMに類似した年齢化挙動を裏付ける。
• 収束はエネルギー分布の確率1の部分集合上でほとんど確実に成立し、実現ごとの堅牢性を示す。
• この結果により、ボーショのトラップ模型が、SK模型を含む広範なスピンガラス模型クラスにおける普遍的な年齢化機構であることが確認される。
• 証明により、スケーリングされた時計過程の範囲が、平均測度μ((a,b)) = log(b^{1/β²}/a^{1/β²})を持つポアソン点過程によって決定される区間を避けることが示され、これが年齢化分布を特徴づける。