[論文レビュー] Universality for the focusing nonlinear Schroedinger equation at the gradient catastrophe point: Rational breathers and poles of the tritronquee solution to Painleve I

Marco Bertola, Alexander Tovbis|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、半古典的極限における焦点的非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の勾配崩壊点近傍で、普遍的な漸近的挙動を確立する。非線形勾配下降法と離散的シュレスラー変換を用いて、解のスパイクが $ O(\varepsilon) $ スケールにスケーリングされた有理関数ブリーダーで普遍的に記述されることを示し、その位置はペインレベーI方程式のトリトロアーソリューションの極によって決定される。一方、背景は、同一のペインレベー超越関数による補正を加えた平面波で近似される。

ABSTRACT

The semiclassical (zero-dispersion) limit of the one-dimensional focusing Nonlinear Schroedinger equation (NLS) with decaying potentials is studied in a full scaling neighborhood D of the point of gradient catastrophe (x_0,t_0). This neighborhood contains the region of modulated plane wave (with rapid phase oscillations), as well as the region of fast amplitude oscillations (spikes). In this paper we establish the following universal behaviors of the NLS solutions near the point of gradient catastrophe: i) each spike has the height 3|q_0(x_0,t_0,epsilon)| and uniform shape of the rational breather solution to the NLS, scaled to the size O(epsilon); ii) the location of the spikes are determined by the poles of the tritronquee solution of the Painleve I (P1) equation through an explicit diffeomorphism between D and a region into the Painleve plane; iii) if (x,t) belongs to D but lies away from the spikes, the asymptotics of the NLS solution q(x,t,epsilon) is given by the plane wave approximation q_0(x,t,epsilon), with the correction term being expressed in terms of the tritronquee solution of P1. The latter result confirms the conjecture of Dubrovin, Grava and Klein about the form of the leading order correction in terms of the tritronquee solution in the non-oscillatory region around (x_0,t_0). We conjecture that the P1 hierarchy occurs at higher degenerate catastrophe points and that the amplitudes of the spikes are odd multiples of the amplitude at the corresponding catastrophe point. Our technique is based on the nonlinear steepest descent method for matrix Riemann-Hilbert Problems and discrete Schlesinger isomonodromic transformations.

研究の動機と目的

• 焦点的非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の半古典的極限において、勾配崩壊点近傍での解の普遍的漸近的構造を理解すること。
• 特に、スパイクの振幅、形状、位置の起源を、可積分系からの特別関数を用いて同定すること。
• NLS解の挙動とペインレベーI方程式、特にトリトロアーソリューションとの明確な関係を確立すること。
• スパイク領域および非スパイク領域を含め、崩壊点近傍のNLS解の漸近的記述を拡張すること。

提案手法

• NLSの半古典的極限を解析するため、行列Riemann-Hilbert問題への非線形勾配下降法の適用。
• スパイク近傍での主要項の漸近的性質を精緻化するために、離散的シュレスラー等モノドロミー変換の使用。
• 空間時間変数 $(x,t)$ とペインレベーI方程式の独立変数 $\tau$ 間の写像の構築。
• 特にその極に注目して、ペインレベーI方程式のトリトロアーソリューションの解析を行い、スパイクの位置を特定。
• スパイクの形状と振幅を記述するため、有理関数ブリーダー解に基づく局所的パラメトリックモデルの導出。
• 位相および解の振動的構造を扱うために、$g$-関数の使用とモデルRiemann-Hilbert問題への還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 焦点的NLS解において、半古典的極限の下で勾配崩壊点近傍にスパイクがどのように形成されるか？
• RQ2 これらのスパイクの普遍的形状と振幅は何か？ また、それらは有理関数ブリーダー解とどのように関係しているか？
• RQ3 スパイクの位置は、ペインレベーI方程式のトリトロアーソリューションの極によってどのように決定されるか？
• RQ4 スパイクから離れた領域におけるNLS解の漸近的挙動は何か？ また、ペインレベー超越関数による補正はどのように働くか？
• RQ5 ペインレベーI階層は、NLS解における高次の退化崩壊点を記述できるか？

主な発見

• NLS解の各スパイクは、$ \varepsilon $ に依存しない普遍的な高さ $ 3|q_0(x_0,t_0)| $ を持ち、$ O(\varepsilon) $ スケールにスケーリングされた有理関数ブリーダー解によって一様に形状が記述される。
• スパイクの位置は、$(x,t)$-平面上から$\tau$-平面上への明示的な写像を通じて、ペインレベーI方程式のトリトロアーソリューションの極によって決定される。
• スパイクから離れた領域では、NLS解は調和的平面波 $ q_0(x,t,\varepsilon) $ で漸近的に近似され、下位項補正はペインレベーI方程式のトリトロアーソリューションで表される。
• 本手法により、NLS解とペインレベーI階層との明確な関係が確立され、このような階層が高次の退化崩壊点を支配するとの予想を支持する。
• 著者らは、高次の退化崩壊点において、対応するスパイクの振幅が崩壊点における振幅の奇数倍になると予想し、$ 3|q_0| $ の法則を一般化する。
• 本分析により、ダブロヴィン、グラバ、クラインによる予想である、焦点的NLSにおける勾配崩壊点近傍でペインレベーIの普遍的挙動が成立することを、厳密に確認した。