[論文レビュー] Universality in Turbulence: an Exactly Soluble Model

Krzysztof Gawędzki, A. Kupiainen|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 1995

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 23被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、普遍性を検証するため、乱流におけるスカラーの受動的拡散の厳密可解モデルを提示する。相関関数は普遍的指数を示す異常スケーリングを示すが、非普遍的振幅は系のサイズとともに発散する。赤外線的正規化によってこれらの項を除去した後、相関関数は正常スケーリングを示し、厳密な普遍性を示す。これは、完全に発達した乱流における普遍性を実現するには、このような正規化が不可欠であることを示唆している。

ABSTRACT

The present note contains the text of lectures discussing the problem of universality in fully developed turbulence. After a brief description of Kolmogorov's 1941 scaling theory of turbulence and a comparison between the statistical approach to turbulence and field theory, we discuss a simple model of turbulent advection which is exactly soluble but whose exact solution is still difficult to analyze. The model exhibits a restricted universality. Its correlation functions contain terms with universal but anomalous scaling but with non-universal amplitudes typically diverging with the growing size of the system. Strict universality applies only after such terms have been removed leaving renormalized correlators with normal scaling. We expect that the necessity of such an infrared renormalization is a characteristic feature of universality in turbulence.

研究の動機と目的

• 完全に発達した乱流における普遍性がどの程度適用可能であるかを、特に慣性域スケーリングの文脈で調査すること。
• 正確な解が得られる簡略化された受動的スカラー拡散モデルを分析し、普遍性の概念を検証するためのテストベッドとする。
• 高次相関関数における非普遍的振るまいの原因を特定し、厳密な普遍性が回復可能かどうかを同定すること。
• 赤外発散と、乱流系における普遍的スケーリングを達成するための正規化の必要性の役割を調査すること。
• このモデルの振るまいを、間欠性や体積保存微分同相写像の役割といった、乱流に関するより広範な問題と結びつけること。

提案手法

• 指定された相関構造を持つガウス型の確率的流れ場によって駆動される受動的スカラーのモデルを定式化し、特異な楕円型多体作用素を用いて正確に解けるようにする。
• スカラー場の等時相関関数（2点関数、4点関数、6点関数を含む）の正確な式を導出する。
• 系のサイズ $L \to \infty$ および分子拡散係数 $\nu \to 0$ の極限における相関関数の漸近的挙動を分析する。
• Fokker-Planck作用素のゼロモードを同定し、異常スケーリングを示す項と、$L$ とともに発散する非普遍的振幅に対応する。
• 非普遍的項を差し引くことで赤外線的正規化を適用し、正常スケーリングと厳密な普遍性を示す相関関数を導出する。
• $\kappa$-展開（$\kappa$ は流れ場の相関減衰を制御する）を用いて、高次関数の構造とそのスケーリング挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に発達した乱流における普遍性は、特に高次相関関数においてどの程度成立するのか？
• RQ2 なぜ、普遍的指数を有するにもかかわらず、非普遍的振幅が系のサイズとともに発散する乱流系の相関関数が存在するのか？
• RQ3 非普遍的振幅を有する異常スケーリング項を含む相関関数から、厳密な普遍性を回復できるのか？
• RQ4 ステディ状態における相関関数において、赤外線的正規化が普遍性を回復する役割を果たすのか？
• RQ5 正確に可解なこのモデルの結果は、ナビエ＝ストークス乱流における間欠性とスケーリングの理解にどのように寄与するのか？

主な発見

• 定常状態における2点等時相関関数は、コルモゴロフ1941理論に一致する普遍的指数を示す異常スケーリングを示す。
• 決定論的初期条件ではスカラー相関関数は非普遍的であるが、均一な初期条件での平均化により、普遍的かつ超拡散的減衰が得られる。
• 高次接続相関関数（例：4点関数、6点関数）には、普遍的異常スケーリング指数を有する項が含まれるが、$L \to \infty$ で発散する非普遍的振幅を有する。
• 6点関数にはFokker-Planck作用素のゼロモードが含まれており、均一性の度合いが変形された項を生じさせ、$\kappa$ が小さい場合に異常スケーリングが支配的になる。
• 赤外線的正規化によって非普遍的項を差し引いた後、得られる相関関数は、$\nu \to 0$、$L \to \infty$ の極限で正常スケーリングと厳密な普遍性を示す。
• 定常状態の等時相関関数では、$\nu$-依存の項の差し引きは不要であり、分子拡散係数は主に定常状態への収束を保証するものであり、スケーリング挙動の正規化には寄与しない。