[論文レビュー] Universality of Euler flows and flexibility of Reeb embeddings

Robert Cardona, Eva Miranda+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Beltrami型解を用いた接触幾何におけるh原理の新たな応用を通じて、任意のコンpaktoな多様体上の非自己同型力学系が、高次元のリーマン多様体上での滑らかで定常的なオイラー方程式の解に拡張可能であることを示すことにより、定常オイラー流れの普遍性を確立している。主な結果は、定常オイラー流れがチューリング完全であることであり、これは任意のユニバーサルチューリングマシンをシミュレート可能であり、したがって決定不能な軌道を有することを意味する。この結果は、接触幾何におけるリーマン埋め込みに関する新たなh原理に裏付けられている。

ABSTRACT

The dynamics of an inviscid and incompressible fluid flow on a Riemannian manifold is governed by the Euler equations. Recently, Tao launched a programme to address the global existence problem for the Euler and Navier Stokes equations based on the concept of universality. Inspired by this proposal, in this article we prove that the stationary Euler equations exhibit several universality features. More precisely, we show that any non-autonomous flow on a compact manifold can be extended to a smooth stationary solution of the Euler equations on some Riemannian manifold of possibly higher dimension. The solutions we construct are of Beltrami type, and being stationary they exist for all time. Using this result, we establish the Turing completeness of the steady Euler flows,i.e., there exist solutions that encode a universal Turing machine and, in particular, these solutions have undecidable trajectories. Our proofs deepen the correspondence between contact topology and hydrodynamics, which is key to establish the universality of the Reeb flows and their Beltrami counterparts. An essential ingredient in the proofs, of interest in itself, is a novel flexibility theorem for embeddings in Reeb dynamics in terms of an h-principle in contact geometry, which unveils the flexible behavior of the steady Euler flows. These results can be viewed as lending support to the intuition that solutions to the Euler equations can be extremely complicated in nature.

研究の動機と目的

• 定常オイラー方程式の解が、時間に依存しないにもかかわらず、普遍的力学を示すことができるかどうかを調査すること。
• オイラー方程式のタオの普遍性プログラムを、定常的でBeltrami型の解へと拡張すること。
• h原理を用いて、接触幾何におけるリーマン力学と流体力学との間の位相的対応関係を確立すること。
• 定常オイラー流れがチューリング完全であることを証明し、任意の計算プロセスを符号化できることを示すこと。
• 証明の主要な技術的道具としての、等リーマン埋め込みに関する柔軟性定理の構築

提案手法

• ベース多様体Nに非自己同型の流れを持つM = N × T^m 上のワーペッド積度量を用いて、定常オイラー流れを構成する。
• Beltramiベクトル場を用いて、解が定常的かつすべての時間で存在することを保証する。
• 等非自明な埋め込みのためのh原理を適用し、非自己同型の流れを接触多様体上のリーマン流れに埋め込む。
• リー形式を介して、N 上の測地的ベクトル場と、T*N の球面バンドル S(T*N) 上のリーマン力学との間の対応関係を確立する。
• コードイメンションが 3 dim N + 2 + k を超えるとき、小さな等リーマン埋め込みの空間が、滑らかな埋め込みの空間とホモトピー同値であることを証明する。
• パラメトリックなh原理とホモトピー群の同型を用いて、特にオーバートゥステッド接触多様体において、埋め込み空間の柔軟性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクト多様体上の非自己同型流れは、高次元のリーマン多様体上での滑らかで定常的なオイラー方程式の解に拡張可能か？
• RQ2 定常オイラー流れが、ユニバーサル計算をシミュレート可能、すなわちチューリング完全である可能性はあるか？
• RQ3 接触多様体におけるリーマン埋め込みの位相的柔軟性は何か？ そして、これは流体力学的普遍性とどのように関係するか？
• RQ4 コードイメンションの仮定の下で、形式的および真の等リーマン埋め込みの空間のホモトピー型は、どのように比較されるか？
• RQ5 接触幾何におけるh原理は、どのようにして柔軟で普遍的な流体力学的解の構成を可能にするか？

主な発見

• 任意のコンパクト多様体上の非自己同型流れは、Beltrami型ベクトル場を用いて、高次元のリーマン多様体上での滑らかで定常的なオイラー方程式の解に拡張可能である。
• 定常オイラー流れはチューリング完全であり、任意のユニバーサルチューリングマシンをシミュレート可能であり、したがって決定不能な軌道を有する。
• コードイメンションが 3 dim N + 2 + k を超えるとき、小さな等リーマン埋め込みの空間は、滑らかな埋め込みの空間とホモトピー同値である。
• オーバートゥステッド接触多様体において、形式的等リーマン埋め込みの包含写像が、コードイメンション > 3 dim N + k のとき、次数kまでホモトピー群に同型を誘導する。
• 接触幾何の手法を用いて、リーマン埋め込みに関する新たなh原理が確立され、定常オイラー流れにおける柔軟な挙動が明らかになった。
• リー形式を介した測地的流れとリーマン力学との対応関係が形式化され、任意の測地的流れが、余接バンドルの球面バンドル上でのリーマン流れに埋め込めることが可能になった。