[論文レビュー] Universality of random matrices with correlated entries

Ziliang Che|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、短距離および領域的リプシッツ連関構造を持つ、相関のあるエントリをもつ大規模な実対称ランダム行列について、局所固有値統計の普遍性を確立する。最適スケールまで到る局所法則の証明と、ダイソン・ブラウン運動フレームワークの利用により、バルク固有値統計がガウス正交 Ensemble (GOE) と一致することを示し、独立エントリモデルを超えた普遍性を拡張する。

ABSTRACT

We consider an $N$ by $N$ real symmetric random matrix $X=(x_{ij})$ where $\mathbb{E}x_{ij}x_{kl}=ξ_{ijkl}$. Under the assumption that $(ξ_{ijkl})$ is the discretization of a piecewise Lipschitz function and that the correlation is short-ranged we prove that the empirical spectral measure of $X$ converges to a probability measure. The Stieltjes transform of the limiting measure can be obtained by solving a functional equation. Under the slightly stronger assumption that $(x_{ij})$ has a strictly positive definite covariance matrix, we prove a local law for the empirical measure down to the optimal scale $ ext{Im} z \gtrsim N^{-1}$. The local law implies delocalization of eigenvectors. As another consequence we prove that the eigenvalue statistics in the bulk agrees with that of the GOE.

研究の動機と目的

• 相関のある一般エントリをもつランダム行列に対するウィグナー＝ダイソン＝マイタの普遍性予想を、独立または弱い依存性を持つモデルを超えて拡張すること。
• 短距離相関で、領域的リプシッツ関数からの離散化がなされた場合の、経験的固有値測度に対するグローバル法を確立すること。
• 厳密に正定値な相関構造のもとで、最適スケール $\operatorname{Im}z \gtrsim N^{-1}$ まで到る局所法を証明すること。
• バルクスペクトルにおける局所固有値統計がGOEと一致することを示し、相関のある設定における普遍性を確認すること。
• 一般相関構造を伴う状況下で、グリーン関数および固定点方程式の解析に耐えうる強固なフレームワークを構築すること。

提案手法

• 相関テンソル $\xi_{ijkl}$ を用いて、領域的リプシッツ関数の離散化として、極限固有値測度のストゥルム変換に対する関数方程式を導出する。
• 三段階戦略を適用する：(1) グリーン関数エントリ $G_{ii}(z)$ のベクトル固定点方程式の集中および安定性を用いた局所法の証明、(2) ダイソン・ブラウン運動の局所平衡への収束の解析、(3) パラメータ摂動論を用いて普遍性を示す。
• 形式 $v_i(z) = \frac{1}{-z - \sum_j S_{ij} v_j(z)} + o(1)$ のベクトル固定点方程式を用いる。ここで $S$ はエントリの共分散行列である。
• バルクスペクトルにおける固定点方程式の安定性を確立し、これは局所法の証明に不可欠である。
• ダイソン・ブラウン運動の流れを用いた比較法を採用し、ダイナミクスをGOE成分と相関成分に分解する。
• 連続性の議論と、正規化トレース $\frac{1}{N}\operatorname{tr}G$ の微分に関する高確率的バウンドを用いて、流れ全体にわたるフラクチュエーションを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短距離および領域的リプシッツ相関のもとで、相関のあるウィグナー型行列の経験的固有値測度は、決定的極限に収束するか？
• RQ2 相関構造が厳密に正定値である場合、最適スケール $\operatorname{Im}z \gtrsim N^{-1}$ まで局所法を確立できるか？
• RQ3 一般相関エントリをもつ場合、スペクトルのバルクにおける局所固有値統計は、GOEと一致するか？
• RQ4 一般相関構造のもとで、局所固有値統計の普遍性は、独立または平行移動不変な場合を超えて頑健であるか？
• RQ5 一般相関仮定のもとで、グリーン関数エントリの固定点方程式はバルクで安定化できるか？

主な発見

• エントリの2次モーメントが $\mathbb{E}[x_{ij}x_{kl}] = \xi_{ijkl}$ である $N \times N$ 実対称ランダム行列 $X$ の経験的固有値測度は、極限確率測度に収束する。そのストゥルム変換は関数方程式を満たす。
• 相関テンソル $\xi$ が厳密に正定値であるという仮定のもとで、最適スケール $\operatorname{Im}z \gtrsim N^{-1}$ まで局所法が成立し、グリーン関数の正規化トレースの高確率的制御が保証される。
• 行列の固有ベクトルは拡散化している。これは局所法の結果である。
• バルクにおける固有値の $k$-点相関関数は、GOEのそれと収束し、局所統計における普遍性が確立される。
• 比較定理により、元の行列とダイソン・ブラウン運動の流れとの間の $k$-点相関関数の差は $\mathcal{O}(N^{-c})$（$c>0$）であることが示され、GOE統計への収束を示唆する。
• パラメータ $θ$ でパrameter化された行列族 $H_\theta$ に対して、局所法は一様に成立し、普遍性の証明における連続性および比較議論の利用が可能になる。