[論文レビュー] Universality of smoothness of Density of States in arbitrary higher-dimensional disorder under non-local interactions I. From Viéte--Euler identity to Anderson localization

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 73被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の次元における非局所的相互作用を有する不規則量子系において、状態密度関数（IDS）の普遍的滑らかさを確立する。$ d \geq 2 $ では無限回微分可能であり、$ d = 1 $ では Hölder 継続的である。そのメカニズムは、長距離相互作用による不規則性の多重畳み込みに起因し、特異的または離散的である場合の不規則分布即ち、標準的な Wegner 評価を上回るスペクトルの滑らかさを生じさせ、ベルヌーイモデルへの還元を必要とせず、多様な不規則性タイプを統一的に取り扱える。

ABSTRACT

It is shown that in a large class of disordered systems with non-degenerate disorder, in presence of non-local interactions, the Integrated Density of States (IDS) is at least Hölder continuous in one dimension and universally infinitely differentiable in higher dimensions. This result applies also to the IDS in any finite volume subject to the random potential induced by an ambient, infinitely extended disordered media. Dimension one is critical: in the Bernoulli case, within the class of exponential interactions, the IDS measure undergoes continuity phase transitions, from absolutely continuous to singular continuous behaviour (the singularity in the latter case was known before). The continuity transitions do not occur for sub-exponential or slower decaying interactions, nor for $d\ge 2$. Technically, the case of polynomial decay is the simplest one. The proposed approach provides a complement to the classical Wegner estimate which says, essentially, that the IDS in the short-range models is at least as regular as the marginal distribution of the disorder. In the models with non-local interaction the IDS is actually much more regular than the underlying disorder, which can even be discrete, due to the smoothing effect of multiple convolutions. In turn, smoothness of the IDS is responsable for a mechanism complementing the usual Lifshitz tails phenomenon. It is also shown that the disorder can take various forms (e.g., substitution or random displacements) and need not be stochastically stationary (as in Delone--Anderson or trim\-med/crooked Hamiltonians, for example); this does not affect the main phenomena observed already in the simplest setting. Long-range models have an amazingly large number of connections to several classical problems of harmonic analysis, probability theory, dynamical systems and number theory.

研究の動機と目的

• 任意の次元における非局所的相互作用を有する不規則量子系の統合状態密度関数（IDS）の普遍的滑らかさを確立すること。
• 個々の不規則変数が特異的または離散的であっても、多重畳み込みの累積的効果により、IDS が元の不規則性よりも普遍的に滑らかになることの証明。
• 置換、確率的変位、非定常不規則性など、多様な不規則性タイプをベルヌーイモデルへの還元なしに統一的に取り扱うこと。
• 非局所的スクリーニングによって状態密度関数に「細い尾部」を生成することで、Lifshitz 尾部現象を補完するフレームワークを提供すること。
• 無限範囲相互作用モデルにおけるアンドリュー局在性の証明の解析的基盤を構築し、完全な証明は別紙に延期すること。

提案手法

• バーティエ＝オイラー恒等式と調和解析を用いて、累積ポテンシャルの特性関数を分析し、IDS の滑らかさを制御する。
• 畳み込み補題を適用して、個々の不規則変数が特異的であっても、累積ポテンシャル $ V(x, \omega) $ の周辺分布が滑らかになることを示す。
• 固有値濃度および比較推定を用いて、有限体積における IDS を評価し、スペクトルゆらぎに対して Bernstein 型不等式を適用する。
• 元の不規則分布の滑らかさを上回る IDS の滑らかさを反映する Wegner 型推定を導出する。
• 多項式および指数的減衰の相互作用カーネルを分析し、滑らかさを確立するための単純なケースとして多項式減衰を用いる。
• 定常性を仮定しない非定常および相関のある不規則性の取り扱いのためのフレームワークを導入し、デローネ＝アンドリューおよびトリムド／ねじれたハミルトニアンを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的かつ長距離相互作用を有する高次元不規則系において、統合状態密度関数（IDS）は滑ららかに保たれるか？
• RQ2 元の不規則分布が離散的または特異的であっても、IDS の滑らかさがそれよりも高くなることは可能か？
• RQ3 非局所的相互作用がバンド端付近のスペクトル的挙動に与える影響は何か。特に Lifshitz 尾部とどのように関係するか？
• RQ4 置換、確率的変位、非定常配置など多様な不規則性タイプをベルヌーイモデルへの還元なしに統一的に取り扱える解析的アプローチは可能か？
• RQ5 多重畳み込みが累積ポテンシャルおよびそのスペクトル測度の滑らかさをどのように向上させるか？

主な発見

• $ d \geq 2 $ では、非局所的相互作用による滑らかさの効果のおかげで、元の不規則性のタイプにかかわらず、統合状態密度関数（IDS）は普遍的に無限回微分可能である。
• 1次元では、IDS は Hölder 継続的であるが、指数的相互作用の下では、絶対連続から特異的連続への連続性の相転移が発生する。
• 指数的より遅い減衰（例：指数的より遅い）の相互作用では、このような相転移は発生せず、1次元系における指数的スクリーニングの重要性が示唆される。
• 元の不規則性の周辺分布が離散的であっても、IDS は著しく滑らかである。これは、相互作用カーネルの多重畳み込みによって説明される。
• Wegner 評価が改善される：元の不規則分布の滑らかさを上回る IDS の滑らかさが得られ、その境界は相互作用カーネルの減衰率に依存する。
• 定常性を仮定しない非定常および相関のある不規則性モデル（例：確率的双極子、確率的変位、トリムドハミルトニアン）に対しても、フレームワークは一貫して適用可能である。