[論文レビュー] Univoque bases and Hausdorff dimension

Derong Kong, Wenxia Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非整数基数展開における一意的展開の基数とハウスドルフ次元の関係について、新たな特徴付けを提供する。ハウスドルフ次元が一意的展開を持つ数の集合の次元が、一意的展開の基数を越えた際に顕著に変化することを証明し、シドロフの問いに答え、Komornik-Loreti定数近辺で、正確に2つの展開を持つ基数の集合が正の局所ハウスドルフ次元を持つことを示した。

ABSTRACT

Given a positive integer $M$ and a real number $q >1$, a \emph{$q$-expansion} of a real number $x$ is a sequence $(c_i)=c_1c_2\cdots$ with $(c_i) \in \{0,\ldots,M\}^\infty$ such that \[x=\sum_{i=1}^{\infty} c_iq^{-i}.\] It is well known that if $q \in (1,M+1]$, then each $x \in I_q:=\left[0,M/(q-1) ight]$ has a $q$-expansion. Let $\mathcal{U}=\mathcal{U}(M)$ be the set of \emph{univoque bases} $q>1$ for which $1$ has a unique $q$-expansion. The main object of this paper is to provide new characterizations of $\mathcal{U}$ and to show that the Hausdorff dimension of the set of numbers $x \in I_q$ with a unique $q$-expansion changes the most if $q$ "crosses" a univoque base. Denote by $\mathcal{B}_2=\mathcal{B}_2(M)$ the set of $q \in (1,M+1]$ such that there exist numbers having precisely two distinct $q$-expansions. As a by-product of our results, we obtain an answer to a question of Sidorov (2009) and prove that \[\dim_H(\mathcal{B}_2\cap(q',q'+δ))>0\quad extrm{for any}\quad δ>0,\] where $q'=q'(M)$ is the Komornik-Loreti constant.

研究の動機と目的

• q > 1 である一意的展開の基数 q を、桁集合 {0, ..., M} における 1 の一意的 q 展開を持つものとして特徴付けること。
• 基数 q を越えた際に、一意的 q 展開を持つ数の集合のハウスドルフ次元がどのように変化するかを調査すること。
• 2009年シドロフの問い、すなわち正確に2つの異なる展開を持つ基数の集合の局所ハウスドルフ次元についての問いを解決すること。
• ハウスドルフ次元の展開差と局所的交差を用いて、一意的展開集合の閉包に属する q であるための同値条件を確立すること。
• 特に、非可約有限型の符号的力学系と一般化されたトゥエ＝モルス列を用いて、一意的展開集合の構造を分析すること。

提案手法

• q > 1 における実数の集合 [0, M/(q-1)] のうち、一意的 q 展開を持つものの集合として、一意的展開集合 $\mathcal{U}_q$ を定義する。
• 自然射影 $\pi_{M+1}$ を用いて、桁列を実数に写像し、展開集合のハウスドルフ次元を研究可能にする。
• 符号的力学系と有限型の部分シフトを用い、特に状態 $\{\xi_n, \xi_n^-, \overline{\xi_n}, \overline{\xi_n^-}\}$ 上の非可約部分シフト $X_A^{(n)}$ を構成して、一意的展開をモデル化する。
• 一般化されたトゥエ＝モルス列 $\theta = (\theta_i)$ を用いて、再帰的不等式と辞書的順序に基づき、$\Gamma_n'$ 内の列を構成し、それらが一意的展開の基数に対応することを示す。
• 恒等的に $\dim_H \pi_{M+1}(X_A^{(n)}) = \frac{\log((1+\sqrt{5})/2)}{2^n p \log(M+1)} > 0$ であるという事実を用いて、特定の基数の近傍における一意的展開集合の正の次元を確立する。
• de Vries (2008) および Komornik ら (2007) の結果を応用し、次元関数 $q \mapsto \dim_H \mathcal{U}_q$ のデーモンの階段関数的挙動を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r > q に対して、差集合 $\mathcal{U}_r' \setminus \mathcal{U}_q'$ のハウスドルフ次元に関する特徴付けを、$\mathcal{U}(M)$ 内の一意的展開の基数 q について与えることができるか？
• RQ2 基数 q を越えた際に、一意的 q 展開を持つ数の集合のハウスドルフ次元はどのように振る舞うか？
• RQ3 正確に2つの異なる展開を持つ基数の集合 $\mathcal{B}_2$ は、Komornik-Loreti定数 $q'$ の近傍で正の局所ハウスドルフ次元を持つだろうか？
• RQ4 一意的展開集合 $\overline{\mathcal{U}}$ の閉包と、q の近傍における $\mathcal{U}_q'$ および $\mathcal{U}$ の局所次元との関係は何か？
• RQ5 一般化されたトゥエ＝モルス列と非可約有限型部分シフトを用いて、一意的展開の構造を分析できるか？

主な発見

• すべての r > q に対して、$\pi_{M+1}(\mathcal{U}_r' \setminus \mathcal{U}_q')$ のハウスドルフ次元が正であることは、q が一意的展開の基数であるための必要十分条件であり、$\mathcal{U}$ の新たな特徴付けを確立する。
• すべての r > q に対して、$\mathcal{U} \cap (q, r)$ のハウスドルフ次元が正であることは、q が一意的展開の基数であるための必要十分条件であり、$\mathcal{U}$ の局所次元に基づく特徴付けを提供する。
• $\mathcal{B}_2 \cap (q', q' + \delta)$ は任意の $\delta > 0$ に対して正のハウスドルフ次元を持つ。これは、シドロフ（2009）の問いに肯定的に答えている。
• $q \in \overline{\mathcal{U}} \setminus (\bigcup \{q_0^*\} \cup \{q'\})$ に対して、すべての p < q に対して $\pi_{M+1}(\mathcal{U}_q' \setminus \mathcal{U}_p')$ のハウスドルフ次元が正である。これは、このような q の新たな特徴付けを提供する。
• すべての p < q に対して、$\mathcal{U} \cap (p, q)$ のハウスドルフ次元が正であることは、q が $\overline{\mathcal{U}} \setminus (\bigcup \{q_0^*\} \cup \{q'\})$ に属するための必要十分条件である。これは、一意的展開集合の閉包への属するための局所次元基準を提供する。
• 部分シフト $X_A^{(n)}$ の射影の次元は $\frac{\log((1+\sqrt{5})/2)}{2^n p \log(M+1)} > 0$ であり、これは特定の基数の近傍における一意的展開集合の局所次元が正であることを証明するために用いられている。