[論文レビュー] Unleashing the power of Schrijver's permanental inequality with the help of the Bethe Approximation

Leonid Gurvits|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用数 39

ひとこと要約

この論文はベーゼ近似を用いてシュリーヴァーの恒等的不等式を一般化し、非負行列のパーマネントの対数に対する二重確率行列を用いた新たな下界を導出する。主な貢献は、フリードランドの漸近的下界マッチング予想を含む新しい不等式の確立であり、パーマネントの$(\sqrt{2})^n$要因内での決定的多項式時間近似アルゴリズムの可能性を示唆する。結果は統計物理学との深い関係を活用し、パーマネント推定に強力なツールを提供する。

ABSTRACT

Let $A \in Ω_n$ be doubly-stochastic $n imes n$ matrix. Alexander Schrijver proved in 1998 the following remarkable inequality per(\widetilde{A}) \geq \prod_{1 \leq i,j \leq n} (1- A(i,j)); \widetilde{A}(i,j) =: A(i,j)(1-A(i,j)), 1 \leq i,j \leq n. We use the above Shrijver's inequality to prove the following lower bound: \frac{per(A)}{F(A)} \geq 1; F(A) =: \prod_{1 \leq i,j \leq n} (1- A(i,j))^{1- A(i,j)}. We use this new lower bound to prove S.Friedland's Asymptotic Lower Matching Conjecture(LAMC) on monomer-dimer problem. We use some ideas of our proof of (LAMC) to disprove [Lu,Mohr,Szekely] positive correlation conjecture. We present explicit doubly-stochastic $n imes n$ matrices $A$ with the ratio $\frac{per(A)}{F(A)} = \sqrt{2}^{n}$; conjecture that \max_{A \in Ω_n}\frac{per(A)}{F(A)} \approx (\sqrt{2})^{n} and give some examples supporting the conjecture. If true, the conjecture (and other ones stated in the paper) would imply a deterministic poly-time algorithm to approximate the permanent of $n imes n$ nonnegative matrices within the relative factor $(\sqrt{2})^{n}$. The best current such factor is $e^n$.

研究の動機と目的

• 1998年のシュリーヴァーのパーマネント不等式を、ベーゼ近似フレームワークを用いて非負行列のより広いクラスへ拡張すること。
• 一般化された不等式を用いて、フリードランドのモノマー・ダイマー・エントロピーに関する漸近的下界マッチング予想を解決すること。
• 非負行列のパーマネントに対する相対要因$(\sqrt{2})^n$以内の決定的多項式時間近似アルゴリズムを確立すること。
• 特にベーゼ近似を含む統計物理学にインspiredされた手法が、行列解析および組合せ論における長年の問題を解く強力なツールであることを示すこと。

提案手法

• パーマネントと二重確率行列の関係を記述する関数 $ CW(P,Q) $ を導入し、エントロピーに類似した項とカルバック・ライバラー発散度を組み合わせる。
• $ \log(\text{per}(P)) \geq \max_{Q \in \Omega_n} CW(P,Q) $ を証明し、シュリーヴァーの不等式が特殊ケースとして含まれることを示す。
• $ CW(P,Q) $ の $ Q $ における凹性と非分解的ブロックの構造を用い、問題を既約成分に還元する。
• 不等式を用いて、二重確率行列に対するパーマネントの下界を導出：$ \frac{\text{per}(A)}{F(A)} \geq 1 $、ここで $ F(A) = \prod_{i,j} (1 - A(i,j))^{1 - A(i,j)} $。
• この下界をモノマー・ダイマー問題に適用し、行列族の極限解析を用いて漸近的下界マッチング予想を証明する。
• 行列列の漸近的解析を用いて、パーマネントと下界の成長率を比較し、下界が真に優位であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュリーヴァーのパーマネント不等式は、統計物理学的手法を用いて有理数の二重確率行列を超えて一般化可能か？
• RQ2 ベーゼ近似フレームワークは、新しいパーマネント下界を導出するための包括的かつ強力なツールを提供するか？
• RQ3 一般化された不等式を用いて、フリードランドのモノマー・ダイマー・エントロピーに関する漸近的下界マッチング予想を証明可能か？
• RQ4 この手法を用いた非負行列のパーマネントの最適近似要因は何か？
• RQ5 $(\sqrt{2})^n$要因内での決定的多項式時間アルゴリズムによるパーマネント近似は可能か？

主な発見

• $ \log(\text{per}(P)) \geq \max_{Q \in \Omega_n} CW(P,Q) $ を証明し、これはすべての非負行列 $ P $ に対して $ \text{per}(P) > 0 $ のもとで成り立つシュリーヴァーの不等式の一般化である。
• $ \frac{\text{per}(A)}{F(A)} \geq 1 $ をすべての $ A \in \Omega_n $ に対して確立し、ここで $ F(A) = \prod_{i,j} (1 - A(i,j))^{1 - A(i,j)} $ であり、特定の行列族で等号に近づく。
• 特定の二重確率行列のパーマネントが $ F(A) $ 以上に成長することを示し、極限で等号に近づくことから、フリードランドの漸近的下界マッチング予想を証明する。
• $ \frac{\text{per}(A)}{F(A)} = (\sqrt{2})^n $ を満たす $ n \times n $ 二重確率行列 $ A $ の明示的構成が与えられ、これが最大比である可能性を示唆する。
• パーマネント下界に関する予想に対して反例を提供する：$ n=90 $ の $ 135 \times 135 $ 行列 $ K_n $ に対して $ \text{LMS}(K_n) > \text{per}(K_n) $ が成り立ち、提案された下界を反証する。