[論文レビュー] Unlocking the general relationship between energy and entanglement spectra via the wormhole effect

Yan Zheng, Zi Yang Meng|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、大規模で高くエンタングルされた量子系から低エネルギー準位のエンタングルメントスペクトルを抽出するため、量子モンテカルロ（QMC）シミュレーション内での確率的解析継続法を導入する。これにより、指数的計算複雑性を克服する。経路積分形式において普遍的なワームホール効果を確立し、エンタングルメントスペクトルと端面エネルギースペクトルの対応を説明する。トポロジカル相におけるLiとHaldaneの予想を検証し、ギャップのあるトポロジカル系を超えて拡張する。

ABSTRACT

Based on the path integral formulation of the reduced density matrix, we develop a scheme to overcome the exponential growth of computational complexity in reliably extracting low-lying entanglement spectrum from quantum Monte Carlo simulations. We test the method on the Heisenberg spin ladder with long entangled boundary between two chains and the results support the Li and Haldane's conjecture on entanglement spectrum of topological phase. We then explain the conjecture via the wormhole effect in the path integral and show that it can be further generalized for systems beyond gapped topological phases. Our further simulation results on the bilayer antiferromagnetic Heisenberg model with 2D entangled boundary across the $(2+1)$D O(3) quantum phase transition clearly demonstrate the correctness of the wormhole picture. Finally, we state that since the wormhole effect amplifies the bulk energy gap by a factor of $β$, the relative strength of that with respect to the edge energy gap will determine the behavior of low-lying entanglement spectrum of the system.

研究の動機と目的

• 大規模なエンタングル領域を有する系において、量子モンテカルロ（QMC）シミュレーションから低エネルギー準位のエンタングルメントスペクトルを抽出する際の指数的計算複雑性を克服すること。
• ギャップのあるトポロジカル相におけるエンタングルメントスペクトルと端面エネルギースペクトルの対応に関するLiとHaldaneの予想を検証すること。
• 経路積分形式におけるワームホール効果を用いて、ギャップのあるトポロジカル系を超えたエンタングルメント-エネルギースペクトル対応を一般化すること。
• 2次元のエンタングル領域を有する双層反強磁性ヘイゼンベルグ模型におけるO(3)量子臨界点を越える状況で、本手法の実用可能性を示すこと。
• ワームホール効果を通じて、体積部と端面のエネルギーギャップの相対的強さがエンタングルメントスペクトルの構造に与える影響を物理的図像として確立すること。

提案手法

• QMCシミュレーションで測定された虚時間相関関数 $ G(\tau) $ からスペクトル関数 $ S(\omega) $ を再構成するために、確率的解析継続（SAC）を用いる。
• 関数 $ K(\tau, \omega) = \frac{e^{-\tau\omega} + e^{-(\beta - \tau)\omega}}{\pi} $ を用いて $ G(\tau) $ と $ S(\omega) $ を関連づけ、$ \beta $ を逆温度とする。
• 正規化されたスペクトル関数 $ B(\omega) = S(\omega)(1 + e^{-\beta\omega}) $ を、数値フィッティング用に $ \sum_i a_i \delta(\omega - \omega_i) $ のデルタ関数の和として表現する。
• フィット精度とスペクトルの滑らかさのバランスを取るために、ボルツマン重み $ W \sim \exp(-\chi^2 / (2\Theta)) $ を用いたメトロポリスサンプリング方式でスペクトル関数を最適化する。
• SU(2)対称性が破れている系に適用可能な主観測量としてスピン $ S^z $ の相関関数を用いる。
• 本手法をヘイゼンベルグスピンラダーおよび双層反強磁性ヘイゼンベルグ模型に適用し、2次元のエンタングル領域解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的計算複雑性があるにもかかわらず、量子モンテカルロ（QMC）シミュレーションから低エネルギー準位のエンタングルメントスペクトルを信頼性高く抽出できるか？
• RQ2 LiとHaldaneが提唱したエンタングルメントスペクトルと端面エネルギースペクトルの対応は、ギャップのあるトポロジカル系を超えて成立するか？
• RQ3 量子多体系においてエンタングルメントスペクトルとエネルギースペクトルの類似性を説明する背後にある物理的メカニズムは何か？
• RQ4 体積部エネルギーギャップと端面エネルギーギャップの相対的大きさが、エンタングルメントスペクトルの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 経路積分形式におけるワームホール効果は、エネルギー-エンタングルメントスペクトル関係を統一的に理解するためのフレームワークを提供できるか？

主な発見

• 確率的解析継続法により、QMCシミュレーションから低エネルギー準位のエンタングルメントスペクトルを効果的に抽出でき、大規模なエンタングル領域および2次元境界を持つ系の研究が可能になった。
• ヘイゼンベルグスピンラダーにおけるQMC結果は、低エネルギー準位のエンタングルメントスペクトルが単一のスピンチェーンのエネルギースペクトルとよく一致することを示し、有限サイズ効果なしにLiとHaldaneの予想を支持する。
• 経路積分におけるワームホール効果が、エンタングルメントスペクトルと端面エネルギースペクトルの対応を統一的に説明する物理的図像を提供する。
• 本手法はギャップのあるトポロジカル系を超えて一般化可能であり、(2+1)次元のO(3)量子臨界点を越える双層反強磁性ヘイゼンベルグ模型の例によって実証された。
• 体積部エネルギーギャップと端面エネルギーギャップの相対的強さが、低エネルギー準位のエンタングルメントスペクトルの振る舞いを決定づけ、ワームホール効果により体積部ギャップが $ \beta $ 倍に増幅される。
• 本フレームワークにより、QMCにおける局所観測量の時間発展からエンタングルメントハミルトニアンを抽出する可能性が開かれる。これにより、今後の研究に新たな道が開かれる。