[論文レビュー] Unobstructed deformations of generalized complex structures induced by $C^\infty$ logarithmic symplectic structures and logarithmic Poisson structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正則対数的シンプレクティック構造の微分幾何的類似物として、滑らかな多様体上の$C^{\infty}$対数的シンプレクティック構造を導入する。これらの構造によって誘導される一般化複素構造は、タイプ変化軌跡が滑らかであれば、その補集合の第二ド・ラームコホモロジーによってパrametrizedされた非障害的変形を持つことが示される。主な結果として、滑らかな反標準的除集合を持つ複素表面、および特定の複素射影平面の接続和における一般化複素構造の非障害的変形が確立され、変形空間の次元は$12k + 2m - 3$である。この手法は、ホッジ理論を避けて、リー代数的コホモロジーと$d$-閉$b$-場の下での位相的不変性に依拠する。

ABSTRACT

We shall introduce the notion of $C^\infty$ logarithmic symplectic structures on a differentiable manifold which is an analog of the one of logarithmic symplectic structures in the holomorphic category. We show that the generalized complex structure induced by a $C^\infty$ logarithmic symplectic structure has unobstructed deformations which are parametrized by an open set of the second de Rham cohomology group of the complement of type changing loci if the type changing loci are smooth. Complex surfaces with smooth effective anti-canonical divisors admit unobstructed deformations of generalized complex structures such as del pezzo surfaces and Hirzebruch surfaces. We also give some calculations of Poisson cohomology groups on these surfaces. Generalized complex structures ${\cal J}_m$ on the connected sum $(2k-1)\Bbb C P^2\# (10k-1)\ol {\Bbb C P^2}$ as in \cite{Cavalcanti_Gualtieri_2006}, \cite{Goto_Hayano} are induced by $C^\infty$ logarithmic symplectic structures modulo the action of $b$-fields and it turns out that {generalized complex structure}s ${\cal J}_m$ have unobstructed deformations of dimension $12k+2m-3$.}

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上に、正則対数的シンプレクティック構造の微分幾何的類似物として$C^{\tiny\text{∞}}$対数的シンプレクティック構造を定義すること。
• このような$C^{\tiny\text{∞}}$対数的シンプレクティック構造によって誘導される一般化複素構造の非障害的変形理論を確立すること。
• 特定の4次元多様体における、対数的ポisson構造のポアンソ・コホモロジー群を計算し、それらを補集合のド・ラームコホモロジーと関連付けること。
• $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$のような接続和における一般化複素構造に対し、非障害的性を拡張すること。

提案手法

• 実codimension 2の滑らかな除集合$D$の近傍で、$\frac{dz_1}{z_1} \wedge dz_2 + \cdots$に局所的にモデル化される複素2形式として、$C^{\tiny\text{∞}}$対数的シンプレクティック構造を導入する。
• 複素2形式$\omega_{\mathbb{C}}$の指数関数$\phi = e^{\omega_{\mathbb{C}}}$を用いて、一般化複素構造$\mathcal{J}_\phi$を構成する。
• 一般化複素構造のリー代数的コホモロジーを用いて、無限小変形と障害を計算する。
• タイプ変化軌跡の補集合に関して、リー代数的コホモロジー$H^k(\wedge^\bullet \overline{L}_{\mathcal{J}})$が$H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$に同型であることを示す。
• ド・ラームコホモロジーと非障害的性が$d$-閉$b$-場作用の下で不変であることを応用し、$M \setminus D$上のコホモロジー計算に還元する。
• 滑らかな対数的変換とファイブレーション（例えば、楕円ファイブレーション$E(k)$）を用いて、$(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$のような4次元多様体上の一般化複素構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化複素構造が$C^{\tiny\text{∞}}$対数的シンプレクティック構造によって誘導される場合、どのような条件下で非障害的変形が可能か？
• RQ2 対数的ポアンソ構造のポアンソ・コホモロジー群は、その零点集合の補集合のド・ラームコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 デル・ペッツォ表面や$\mathbb{C}P^2$、$\overline{\mathbb{C}P}^2$の接続和のような4次元多様体における一般化複素構造の変形空間の次元は何か？
• RQ4 ホッジ理論を一切用いずに、位相的不変量のみを用いて非障害的性を確立できるか？
• RQ5 4次元多様体上の一般化複素構造の変形空間は、どの程度まで$H^2(M \setminus D, \mathbb{C})$によってパラメータ化されるか？

主な発見

• タイプ変化軌跡が滑らかであれば、$C^{\tiny\text{∞}}$対数的シンプレクティック構造によって誘導される一般化複素構造は、$H^2(M \setminus D, \mathbb{C})$の開部分集合によってパラメータ化された非障害的変形を持つ。
• 滑らかな有効な反標準的除集合を持つ複素表面（例えば、デル・ペッツォ表面やヒルツェブルーフ表面）において、誘導される一般化複素構造は非障害的変形を持つ。
• 対数的ポアンソ構造$\beta$のポアンソ・コホモロジー群は、ド・ラームコホモロジー群$H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$に同型である。
• 接続和$(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$において、一般化複素構造$\mathcal{J}_m$は次元$12k + 2m - 3$の非障害的変形を持つ。
• このような構造に対して、リー代数的コホモロジー$H^k(\wedge^\bullet \overline{L}_{\mathcal{J}})$は$H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$に同型であり、コホモロジー的パラメータ化を確認する。
• 変形空間の次元$12k + 2m - 3$は、$\dim H^2(E(k)) = 12k - 2$、$\dim H^1(D) = 2m$、および局所コホモロジーにおける制限写像の像からの$-1$の補正項から生じる。