[論文レビュー] Unobstructed Immersed Lagrangian Correspondence and Filtered $A_{\infty}$ Functor

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、非遮断的埋め込み Weinstein 範図から、フィルター付き $A_{ y}$ 範図の圏への 2-ファンクターを構成する。Wehrheim-Woodward や Mau’s-Wehrheim-Woodward の先行結果を一般化したものであり、埋め込みラグラングィアン対応が Floer 理論において非遮断性を保つことを証明する。そのために Yoneda ファンクター、ホモロジー代数の補題、およびコンパクトかつ相対的にスピンな設定における Lekili-Lipyanskiy の Y-図式構成を用いる。

ABSTRACT

In this paper, we 'construct' a 2-functor from the unobstructed immersed Weinstein category to the category of all filtered $A_{\infty}$ categories. We consider arbitrary (compact) symplectic manifolds and its arbitrary (relatively spin) immersed Lagrangian submanifolds. The filtered $A_{\infty}$ category associated to $(X,ω)$ is defined by using Lagrangian Floer theory in such generality, see Akaho-Joyce (2010) and Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009). The morphism of unobstructed immersed Weinstein category (from $(X_1,ω_1)$ to $(X_2,ω_2)$) is by definition a pair of an immersed Lagrangian submanifold of the direct product and its bounding cochain (in the sense of Akaho-Joyce (2010) and Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009)). Such a morphism transforms an (immersed) Lagrangian submanifold of $(X_1,ω_1)$ to one of $(X_2,ω_2)$. The key new result proved in this paper shows that this geometric transformation preserves unobstructedness of the Lagrangian Floer theory. Thus, this paper generalizes earlier results by Wehrheim-Woodward and Mau's-Wehrheim-Woodward so that it works in complete generality in the compact case. The main idea of the proofs are based on Lekili-Lipyanskiy's Y diagram and a lemma from homological algebra, together with systematic use of Yoneda functor. In other words, the proofs are based on a different idea from those which are studied by Bottmann-Mau's-Wehrheim-Woodward, where strip shrinking and figure 8 bubble plays the central role.

研究の動機と目的

• 埋め込みラグラングィアン対応の理論を、シンプレクティックトポロジーにおける一般の 2-ファンクター的枠組みへと拡張すること。
• 埋め込みラグラングィアン対応による幾何的合成が、ラグラングィアン Floer 理論における非遮断性を保存することを確立すること。
• Wehrheim-Woodward や Mau’s-Wehrheim-Woodward の先行結果を、任意のコンパクトなシンプレクティック多様体および相対的にスピンな埋め込みラグラングィアンへ一般化すること。
• フィルター付き $A_{ty}$ 範図とバウンディングコボンドを用いた、埋め込みラグラングィアンを扱う体系的な枠組みを提供すること。
• ストリップ収縮や図8バブル技法を、ホモロジー代数と Yoneda 埋め込みを基礎とする方法に置き換えること。

提案手法

• Yoneda ファンクターを用いて、ラグラングィアン Floer 理論をフィルター付き $A_{ty}$ 範図の圏へ埋め込む。
• 主要な技術的道具は、合成におけるバウンディングコボンドの整合性を保証するホモロジー代数の補題である。
• 論文は、Lekili-Lipyanskiy の Y-図式を用いて、積多様体におけるラグラングィアン対応の合成をモデル化する。
• 2-ファンクターは、Akaho-Joyce (2010) および Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009) で定義されたバウンディングコボンドを備えた $X_1 \times X_2$ における埋め込みラグラングィアンによって与えられる射に定義される。
• 証明は、合成を通じた非遮断性の追跡に体系的な Yoneda 埋め込みの使用に依拠する。
• この枠組みはコンパクトかつ相対的にスピンな設定で動作し、$A_{ty}$ 構造の定義可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非遮断的埋め込みラグラングィアン対応の合成は、Floer 理論の枠組みにおいても非遮断性を保つのか？
• RQ2 非遮断的埋め込み Weinstein 範図から、フィルター付き $A_{ty}$ 範図の圏への 2-ファンクターを体系的に構成できるか？
• RQ3 Yoneda ファンクターとホモロジー代数の道具は、この文脈においてストリップ収縮や図8バブルといった幾何的技法をどのように置き換えることができるか？
• RQ4 この理論は、Wehrheim-Woodward や Mau’s-Wehrheim-Woodward の設定をどれほど一般化できるか？
• RQ5 ラグラングィアン対応上のバウンディングコボンドが、どのようにしてターゲット多様体への非遮断性を引き継ぐのか、どのような条件が必要か？

主な発見

• この論文は、すべてのコンパクトなシンプレクティック多様体および相対的にスピンな埋め込みラグラングィアンに対して有効な、非遮断的埋め込み Weinstein 範図からフィルター付き $A_{ty}$ 範図の圏への 2-ファンクターを構成する。
• 積多様体における埋め込みラグラングィアンを介したラグラングィアン対応の幾何的合成は、関連する Floer 理論の非遮断性を保つ。
• 証明はホモロジー代数の補題と体系的な Yoneda ファンクターの使用に依拠し、ストリップ収縮や図8バブル手法とは異なる新しい手法を提供する。
• この枠組みは、Wehrheim-Woodward や Mau’s-Wehrheim-Woodward の先行結果をコンパクトな場合の完全な一般性へと拡張する。
• Akaho-Joyce (2010) および Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009) で定義されたフィルター付き $A_{ty}$ 範図構造と整合性がある。
• $A_{ty}$-範図とバウンディングコボンドの文脈において、理論は完全に形式化されており、合成に関して整合性が保証される。