[論文レビュー] Unobstructedness and dimension of families of Gorenstein algebras

Jan O. Kleppe|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多項式環のGorenstein商を、算術的に Cohen-Macaulay なスキーム上の最大 Cohen-Macaulay ファンクターの正則セクションの退化点として構成することにより、一般の変形理論を開発する。このとき、ファイバーの行列式が canonical ファンクターの twist に一致する条件を満たすと仮定すると、非障害性が示され、特に codimension 4 の Gorenstein スキームおよび ℙ⁵ 内の算術的に Gorenstein 曲線に対して、最大の Gorenstein 代数族の明示的な次元公式が得られる。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop tools to study maximal families of Gorenstein quotients A of a polynomial ring R. We prove a very general Theorem on deformations of the homogeneous coordinate ring of a scheme Proj(A) which is defined as the degeneracy locus of a regular section of the dual of some sheaf M^~ of rank r supported on say an arithmetically Cohen-Macaulay subscheme Proj(B) of Proj(R). Under certain conditions (notably; M maximally Cohen-Macaulay and the top exterior power of M^~ a twist of the canonical sheaf), then A is Gorenstein, and under additional assumptions, we show the unobstructedness of A and we give an explicit formula the dimension of any maximal family of Gorenstein quotients of R with fixed Hilbert function obtained by a regular section as above. The theorem also applies to Artinian quotients A. The case where M itself is a twist of the canonical module (r=1) was studied in a previous paper, while this paper concentrates on other low rank cases, notably r=2 and 3. In these cases regular sections of the first Koszul homology module and of normal sheaves to licci schemes (of say codimension 2) lead to Gorenstein quotients (of e.g. codimension 4) whose parameter spaces we examine. Our main applications are for Gorenstein quotients of codimension 4 of R since our assumptions are almost always satisfied in this case. Special attention are paid to arithmetically Gorenstein curves in P^5.

研究の動機と目的

• 多項式環の Gorenstein 商の最大族を研究するためのツールを開発すること、特に codimension 4 の場合に注目する。
• このような Gorenstein 商がその変形理論において非障害的となる条件を確立すること。
• 固定された Hilbert 関数を持つ Gorenstein 商の最大族の明示的な次元公式を提供すること。
• 従来のランク 1 ファンクターに関する結果を、特にランク r=2 および r=3 の場合に一般化すること。
• Gorenstein スキームのパラメータ空間、特に ℙ⁵ 内の算術的に Gorenstein 曲線および Artinian Gorenstein 代数を検討すること。

提案手法

• Gorenstein 商 A を、算術的に Cohen-Macaulay スキーム Y=Proj(B) 上の最大 Cohen-Macaulay ファンクター M の双対の正則セクションの退化点として構成する。
• M の最高外積が B の canonical ファンクターの twist に同型であることを保証する条件を課す、すなわち ∧ʳM ≅ K_B(t) とすること。
• コホホロジーの消失条件 H²(B,A,A)=0 を幾何的仮定（M 及びその Koszul homology に関する仮定）に置き換える一般化された変形定理（定理 22）を適用する。
• M* の正則セクション σ によって誘導される Koszul 解析を用いて、A を定義する完全系列を得る。たとえば 0 → K_B(t-2s) → M(-s) → B → A → 0 など。
• 局所コホホロジーおよび深さの議論を用いて、特に 1≤i≤r−1 に対して H¹_* (U, M_{i+1})=0 となることを確認し、障害群の消失を検証する。
• Gorenstein 対称性および Ext モジュールの性質を活用して、非障害性の証明およびモジュライ空間の次元の計算を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大 Cohen-Macaulay ファンクター M の正則セクションから生じる Gorenstein 商 A が、その変形空間において非障害的となる条件は何か？
• RQ2 A が M* の正則セクションの退化点として生じる場合、固定された Hilbert 関数 H を持つ多項式環 R の Gorenstein 商の最大族の次元は何か？
• RQ3 ランク r=2 または r=3 の場合、Gorenstein 代数の変形性質はランク r=1 の場合と比べてどのように変化するか？
• RQ4 非障害性および次元に関する結果は、Artinian Gorenstein 代数へどの程度一般化できるか？
• RQ5 これらの構成のもとで、ℙ⁵ 内の算術的に Gorenstein 曲線のパラメータ空間は、Hilbert 棄却と postulation Hilbert 棄却の関係はいかなるものか？

主な発見

• 本稿では、ランク r の最大 Cohen-Macaulay B-加群 M が ∧ʳM ≅ K_B(t) を満たすならば、M* の正則セクションが Gorenstein 商 A を定義することを証明している。
• U を Y の十分大きな開部分集合とするとき、H¹_*(U, M_{i+1})=0（1≤i≤r−1）を満たす条件のもとで、A の非障害性が確立されている。
• r=2 および r=3 の場合、この構成により、R における codimension 4 の Gorenstein 商が得られ、特に ℙ⁵ 内の算術的に Gorenstein 曲線に特に関連している。
• 固定された Hilbert 関数 H を持つこのような Gorenstein 商の最大族の次元は、M 及びその twist のオイラー特性を含む公式で与えられる。
• 従来のランク 1 ファンクターに関する結果の一般化がなされ、変形理論的ツールの高ランクへの適用範囲が拡張された。
• codimension 4 の場合に、GradAlg^H(R)、PGor(H) および Hilbert 棄却の開部分の間の同型がスキーム的（または無限小的／位相的）に示され、次元および滑らかさの比較が可能になった。