[論文レビュー] Unramified Brauer groups for groups of order p^5

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、計算機計算に依存せずに、任意の奇素数 $ p $ に対して、$ p^5 $ 次の非アーベル $ p $-群で、非自明な未分岐ブラウアー群 $ B_0(G) \neq 0 $ を持つものが存在することを理論的に証明する。特に、$ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ を満たす群についての証明であり、これにより $ \mathbb{C}(G) $ が $ \mathbb{C} $ 上で有理型でないことが示され、Noetherの問題に対する反例が理論的に得られる。これは、$ p = 3,5,7 $ について以前に計算機で確認されていたが未解決の事例を解決する。構成には明示的な群の表示と、コホモロジー的技法を用いてボゴモロフ乗数を計算する。

ABSTRACT

Let $k$ be any field, $G$ be a finite group acting on the rational function field $k(x_g : g\in G)$ by $h\cdot x_g=x_{hg}$ for any $h,g\in G$. Define $k(G)=k(x_g : g\in G)^G$. Noether's problem asks whether $k(G)$ is rational (= purely transcendental) over $k$. It is known that, if $\bC(G)$ is rational over $\bC$, then $B_0(G)=0$ where $B_0(G)$ is the unramified Brauer group of $\bC(G)$ over $\bC$. Bogomolov showed that, if $G$ is a $p$-group of order $p^5$, then $B_0(G)=0$. This result was disproved by Moravec for $p=3,5,7$ by computer computing. We will give a theoretic proof of the following theorem (i.e. by the traditional bare-hand proof without using computers). Theorem. Let $p$ be any odd prime number. Then there is a group $G$ of order $p^5$ satisfying $B_0(G) eq 0$ and $G/[G,G] \simeq C_p imes C_p$. In particular, $\bC(G)$ is not rational over $\bC$.

研究の動機と目的

• 任意の奇素数 $ p $ に対して、$ p^5 $-群で非自明な未分岐ブラウアー群 $ B_0(G) \neq 0 $ を持つものが存在することを、計算機に依存しない理論的証明を与えること。これは、$ p = 3,5,7 $ について以前に計算機ベースで得られた結果を補完する。
• 任意の奇素数 $ p $ に対して、$ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ かつ $ B_0(G) \neq 0 $ を満たす $ p^5 $ 次の群 $ G $ が存在することを確立し、$ \mathbb{C}(G) $ が $ \mathbb{C} $ 上で有理型でないことを示すこと。
• 群の表示とコホモロジー不変量を用いて、非アーベル $ p $-群に対するNoetherの問題の理解を拡張すること。
• ボゴモロフ乗数の定義に基づき、すべての二巡回部分群 $ A \leq G $ における $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ の核の共通部分として $ B_0(G) $ の構造を明確化すること。

提案手法

• 著者たちは、$ p \geq 5 $ のもとで、生成元 $ f_1, \dots, f_5 $ と、交換子関係および $ p $ 乗の関係を持つ群の表示によって、三つの群族 $ G(1|p) $、$ G_r(2|p) $、$ G_r(3|p) $ を定義する。中心は $ \langle f_5 \rangle $ である。
• 未分岐ブラウアー群 $ B_0(G) $ のコホモロジー的特徴づけを用いる。これは、ボゴモロフとサルトゥマンによって確立された、すべての二巡回部分群 $ A \leq G $ における制限写像 $ \mathrm{res}^A_G: H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ の核の共通部分としての $ B_0(G) $ の定義である。
• 証明では、$ B_0(G) $ の非自明性を確認するために、補題 2.2（完全には記載されていないが、非自明性を検証するのに必要とされる）を用い、特定のコホモロジー類に対して制限写像が単射でないことを確認する。
• 群の関係式に非自明な $ p $ 乗を定義するために、$ p $ を法とする原始根の選択が行われ、これにより異なるパrameter $ r $ に対して非同型な群が得られる。
• 群の可解クラス、中心、および交換子構造を分析することで、異なる $ (p,r) $-対に対して非同型であることが示される。
• コホモロジー類が任意の二巡回部分群への制限においても消えないことを確認することで、$ B_0(G) \neq 0 $ を満たす条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の奇素数 $ p $ に対して、$ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ かつ $ B_0(G) \neq 0 $ を満たす $ p^5 $ 次の群 $ G $ が存在するか？
• RQ2 以前、モラチェフにより $ p = 3,5,7 $ に対して計算機代数システムに依存して示されたが、$ B_0(G) $ の非自明性を計算機に依存せずに証明できるか？
• RQ3 群族 $ G(1|p) $、$ G_r(2|p) $、$ G_r(3|p) $ は、非自明な $ B_0(G) $ を持つ $ p^5 $-群の唯一の族であるか？
• RQ4 非自明な $ B_0(G) $ を持つ $ p^5 $-群の総数はいくつであり、それは $ p $ にどのように依存するか？
• RQ5 群の表示および交換子関係は、ボゴモロフ乗数の構造にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の奇素数 $ p $ に対して、$ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ かつ $ B_0(G) \neq 0 $ を満たす $ p^5 $ 次の群 $ G $ が存在する。これは、$ \mathbb{C} $ 上で Noetherの問題に対する理論的反例を提供する。
• 特定の交換子関係および $ f_1^p = 1 $、$ f_i^p = 1 $（$ i \geq 2 $）を満たす群 $ G(1|p) $ は、$ p \geq 5 $ のとき $ B_0(G) \neq 0 $ を満たす。
• パrameter $ r $ でパラメータ化された群族 $ G_r(2|p) $ および $ G_r(3|p) $ は、異なる $ r $ に対して非同型であり、$ p \geq 5 $ のときそれぞれ $ B_0(G) \neq 0 $ を満たす。
• このような群の総数は $ 1 + \gcd\{4, p-1\} + \gcd\{3, p-1\} $ であり、これは $ 1 + c_2 + c_3 $ に等しい。ここで $ c_2 = \gcd\{4,p-1\} - 1 $、$ c_3 = \gcd\{3,p-1\} - 1 $ である。
• これらの群は、[Be] および [Ja] で分類された等倣類 $ \Phi_{10}(1^5) $、$ \Phi_{10}(2111)a_r $、$ \Phi_{10}(2111)b_r $ の中で、$ B_0(G) \neq 0 $ を満たす唯一の群族である。
• これらの群の GAP コード番号は $ 5 \leq p \leq 37 $ の範囲で提供されており、$ G(p^5, i) $ は、データベースにおける $ p^5 $ 次の群の $ i $ 番目を表す。