[論文レビュー] Unrelated machine scheduling of jobs with uniform smith ratios

Christos Kalaitzis, Ola Svensson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無作為なマシンにおけるジョブスケジューリング問題に対して、均一なスミス比を持つジョブを対象とし、重み付き完了時間の和を最小化する1.21-近似アルゴリズムを提示する。この手法は、構成形LP緩和に対する修正されたShmoys-Tardosラウンディングスキームを用いる。また、このアプローチにより、スケジューリングの最大遅延時間（makespan）についても2-近似のバイクリターイ近似が得られ、最悪ケースのコストが単純で解析可能なインスタンスにまで削減されるきめ細やかな解析が可能である。

ABSTRACT

We consider the classic problem of scheduling jobs on unrelated machines so as to minimize the weighted sum of completion times. Recently, for a small constant e > 0, Bansal et al. gave a (3/2 − e)-approximation algorithm improving upon the barrier of 3/2 which follows from independent randomized rounding. In simplified terms, their result is obtained by an enhancement of independent randomized rounding via strong negative correlation properties.In this work, we take a different approach and propose to use the same elegant rounding scheme for the weighted completion time objective as devised by Shmoys and Tardos for optimizing a linear function subject to makespan constraints. Our main result is a 1.21-approximation algorithm for the natural special case where the weight of a job is proportional to its processing time (specifically, all jobs have the same Smith ratio), which expresses the notion that each unit of work has the same weight. In addition, as a direct consequence of the rounding, our algorithm also achieves a bi-criteria 2-approximation for the makespan objective. Our technical contribution is a tight analysis of the expected cost of the solution compared to the one given by the Configuration-LP relaxation - we reduce this task to that of understanding certain worst-case instances which are simple to analyze.

研究の動機と目的

• 無作為マシン上で重み付き完了時間の和を最小化するスケジューリング問題に取り組み、すべてのジョブが同じスミス比を持つ特殊ケースに焦点を当てる。
• 均一なスミス比に特化した新しいラウンディング技術を導入することで、この目的関数における3/2-近似の壁を打ち破る。
• ラウンディングスキームの副産物として、最大遅延時間（makespan）のバイクリターイ近似を達成する。
• 構成形LP緩和に対する期待される解のコストとの相対的な解析をきめ細やかに行い、最悪ケースのインスタンスを解析可能な形に簡略化する。

提案手法

• 最大遅延時間制約下での線形関数最小化に適したShmoys-Tardosラウンディングスキームを採用し、重み付き完了時間の和の目的関数に適合させる。
• 容量制約を伴うマシン間でのジョブ割り当てをモデル化する構成形LP緩和にこのラウンディングを適用する。
• 期待される解のコストを、最適な構成形LP解と比較することで解析し、最悪ケースのインスタンスに注目する。
• 最悪ケースの状況を単純で構造的なインスタンスに特徴づけ、近似比に対するきめ細やかな境界を導出可能にする。
• 重みが処理時間に比例するというスミス比の均一性を活用し、解析を単純化するとともに、近似保証を強化する。
• 同じラウンディングプロセスが、最大遅延時間の最適値の2倍以内に収まる解を生成することに着目し、スケジューリングの最大遅延時間についても2-近似を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一なスミス比を持つ無作為マシンスケジューリングにおいて、3/2より良い近似比（1.21未満）を達成できるか？
• RQ2 構成形LP緩和にShmoys-Tardosラウンディングスキームを適用した場合、重み付き完了時間の和の目的関数に対して、その性能はどの程度か？
• RQ3 期待されるラウンディング解のコストが、構成形LP最適解に対して、最悪ケースでどの程度の挙動を示すか？
• RQ4 最悪ケースのインスタンスを解析可能なクラスの構成にまで簡略化することで、ラウンディングスキームの解析を単純化できるか？
• RQ5 このラウンディングスキームは、最大遅延時間の目的関数に対して、どの程度のバイクリターイ近似保証を提供するか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、すべてのジョブが同じスミス比を持つ場合に、重み付き完了時間の和の最小化において1.21-近似を達成する。
• ラウンディングスキームにより、最大遅延時間（makespan）についてもバイクリターイ2-近似が得られ、解の最大遅延時間は最適値の2倍以内に収まる。
• 期待されるコストの解析は、単純で解析可能な少数の最悪ケースインスタンスにまで簡略化される。
• 1.21の近似比は、構成形LP緩和のきめ細やかな解析と、スミス比の均一性の特徴を活用することで達成される。
• 従来の強力な負の相関に基づく手法とは異なるラウンディング戦略を用いることで、この特殊ケースにおいて3/2の壁を打ち破った。
• 本手法は、均一なスミス比が、一般の無作為マシンスケジューリングに比べてより強い近似保証を可能にすることを示している。