[論文レビュー] Unrestricted State Complexity of Binary Operations on Regular and Ideal Languages

Janusz Brzozowski, Corwin Sinnamon|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正規言語および理想言語における二項演算の状態複雑性を再考し、言語が異なるアルファベット上で定義される場合——これは従来の分析で無視されてきた——状態複雑性の上限が、古典的な同一アルファベットの場合とは著しく異なることを示している。主な貢献は、和集合、積集合、差集合、対称差集合、および連結の各演算について、制限のない（異なるアルファベット）設定下でタイトな上限を確立したことである。特に、積演算では最大で $ m2^n + 2^{n-1} $ 個の状態に達し、これらの上限が右理想、左理想、および両側理想に対しても成立することを示している。

ABSTRACT

We study the state complexity of binary operations on regular languages over different alphabets. It is known that if $L'_m$ and $L_n$ are languages of state complexities $m$ and $n$, respectively, and restricted to the same alphabet, the state complexity of any binary boolean operation on $L'_m$ and $L_n$ is $mn$, and that of product (concatenation) is $m 2^n - 2^{n-1}$. In contrast to this, we show that if $L'_m$ and $L_n$ are over different alphabets, the state complexity of union and symmetric difference is $(m+1)(n+1)$, that of difference is $mn+m$, that of intersection is $mn$, and that of product is $m2^n+2^{n-1}$. We also study unrestricted complexity of binary operations in the classes of regular right, left, and two-sided ideals, and derive tight upper bounds. The bounds for product of the unrestricted cases (with the bounds for the restricted cases in parentheses) are as follows: right ideals $m+2^{n-2}+2^{n-1}$ ($m+2^{n-2}$); left ideals $mn+m+n$ ($m+n-1$); two-sided ideals $m+2n$ ($m+n-1$). The state complexities of boolean operations on all three types of ideals are the same as those of arbitrary regular languages, whereas that is not the case if the alphabets of the arguments are the same. Finally, we update the known results about most complex regular, right-ideal, left-ideal, and two-sided-ideal languages to include the unrestricted cases.

研究の動機と目的

• 言語が同一のアルファベットではなく、異なるアルファベット上で定義される場合の、二項演算（和集合、積集合、差集合、対称差集合、積）の状態複雑性を分析すること。
• 正規右理想、左理想、および両側理想のクラスに分析を拡張し、制限のない状況下でのこれらの部分クラスに対するタイトな状態複雑性上限を導出すること。
• 同一アルファベット制限下で導出された古典的上限が、異なるアルファベット上の言語に適用された場合に不十分かつ誤りである可能性があることを示すこと。
• 制限のない状況を組み込んだ「最も複雑な言語」の理論を更新し、理想言語におけるブール演算では同じ複雑性上限が成り立つが、積演算ではより高い上限が適用されることを示すこと。
• 和集合されたアルファベット上での不完全な DFA に空状態を追加することで、制限のない設定下での状態複雑性を計算する一貫性のある枠組みを構築すること。

提案手法

• 言語が異なるアルファベット上で定義される場合、それらのアルファベットの和集合上での不完全な DFA としてモデル化する。その際、自身のアルファベットに属さない文字に対する遷移は欠落する。
• これらの不完全な DFA に、すべての欠落した遷移を吸収する唯一の空（シンク）状態を追加することで完成化し、結果として $ m+1 $ および $ n+1 $ 状態の DFA を得る。
• 完成化された DFA に対して標準的な直接積構成法を適用し、二項演算の状態複雑性を計算する。
• 商複雑性および状態の区別可能性の議論を用いて、導出された上限のタイトさを証明する。これには同値類の分析と区別語の検討を含む。
• 特定の見本言語（例：$ L_m(a,b,-,-,e,f) $）を構築し、理想クラスにおける積およびブール演算の上限に達することを示す。
• 既知の結果（合成的半群のサイズ、逆転複雑性、アトム複雑性）を活用し、構築された系列が最大性を有することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 言語が異なるアルファベット上で定義される場合、正規言語における二項演算（和集合、積集合、差集合、対称差集合、積）の状態複雑性はいかほどか？
• RQ2 制限のない（異なるアルファベット）状況下における右理想、左理想、および両側理想のブール演算の状態複雑性上限は、古典的な同一アルファベットの場合と比べてどう異なるか？
• RQ3 一般正規言語と同様に、理想言語におけるブール演算のタイトな上限を制限のない状況下でも達成できるか？
• RQ4 制限のない右理想、左理想、および両側理想における積演算の最大状態複雑性は何か？ また、制限付きの場合と比べてどう異なるか？
• RQ5 古典的な「最も複雑な正規言語」の見本は、異なるアルファベットを含む制限のない状況に拡張されても、依然として最も複雑なままであるか？

主な発見

• 異なるアルファベット上での和集合および対称差集合の状態複雑性は $ (m+1)(n+1) $ であり、同一アルファベット仮定下での古典的上限 $ mn $ よりも高い。
• 差集合の状態複雑性は $ mn + m $ であり、積集合は $ mn $ である。両者とも、同一アルファベットの場合の古典的上限 $ mn $ よりも高い。
• 異なるアルファベット上での連結（積）の状態複雑性は $ m2^n + 2^{n-1} $ であり、古典的上限 $ (m-1)2^n + 2^{n-1} $ を上回る。
• 右理想の場合、制限のない積の複雑性は $ m + 2^{n-2} + 2^{n-1} $ であり、制限付きの上限 $ m + 2^{n-2} $ よりも厳密に大きい。
• 左理想の場合、制限のない積の複雑性は $ mn + m + n $ であり、制限付きの上限 $ m + n - 1 $ よりも顕著に高い。
• 両側理想の場合、制限のない積の複雑性は $ m + 2n $ であり、再び制限付きの上限 $ m + n - 1 $ を上回り、すべての上限がタイトである。