[論文レビュー] Unruh Effect for General Trajectories

N. Obadia, Mordehai Milgrom|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2007

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ミンコフスキー時空内で任意の軌道を描く二レベル検出器に対して、新規のフェ Feynman 規則に基づく因果的正則化応答関数を導出する。非定常的軌道では高エネルギー領域で一般に $E^{-2}$ のべき乗則に従って応答関数が減衰するが、定常的ケースでは指数関数的減衰を示すのと対照的である。準定常的近似は、加速度の変化がゆっくりである低エネルギー領域でのみ有効である。

ABSTRACT

We consider two-level detectors coupled to a scalar field and moving on arbitrary trajectories in Minkowski space-time. We first derive a generic expression for the response function using a (novel) regularization procedure based on the Feynmann prescription that is explicitly causal, and we compare it to other expressions used in the literature. We then use this expression to study, analytically and numerically, the time dependence of the response function in various non-stationarity situations. We show that, generically, the response function decreases like a power in the detector's level spacing, $E$, for high $E$. It is only for stationary world-lines that the response function decays faster than any power-law, in keeping with the known exponential behavior for some stationary cases. Under some conditions the (time dependent) response function for a non-stationary world-line is well approximated by the value of the response function for a stationary world-line having the same instantaneous acceleration, torsion, and hyper-torsion. While we cannot offer general conditions for this to apply, we discuss special cases; in particular, the low energy limit for linear space trajectories.

研究の動機と目的

• Unruh検出器応答関数における二点Wightman関数の因果的整合性を持つ正則化手法の開発を目的とする。
• 既知の定常的ケースを超えて、非定常的世界線における時間依存的応答関数の分析を目的とする。
• 瞬時に測定可能な不変量（加速度 $a(\tau)$、ねじれ $T(\tau)$、ハイパーネジリティ $H(\tau)$）を同じ持つ定常的軌道の応答で近似する準定常的近似の有効性を評価することを目的とする。
• 一般の軌道における応答関数の高エネルギー漸近的挙動を特定することを目的とする。

提案手法

• 因果性を保証するための、フェ Feynman 規則に基づく新規な正則化手順を導入し、Wightman関数に適用する。
• 世界線の不変量（加速度 $a(\tau)$、ねじれ $T(\tau)$、ハイパーネジリティ $H(\tau)$）の関数として、検出器応答関数の一般式を導出する。
• 正則化を適用し、$1+1$ 次元および $2+1$ 次元における遷移率の積分表現を、$E/a$ および $E/T$ にパラメータ化して得る。
• 線形軌道に時間依存加速度を適用した非定常的軌道について、解析的および数値的解析を実施する。
• 非定常運動の応答関数を、同じ瞬時の $a$、$T$、$H$ を持つ定常的軌道の応答と比較し、準定常的近似の妥当性を検証する。
• 加速度の変化がゆっくりである場合の応答関数の時間的変化を、ブラックホールの類似性を用いて解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミンコフスキー時空内で任意の非定常的軌道を描く二レベル検出器の応答関数は、どのように振る舞うか？
• RQ2 非定常的運動における応答関数の高エネルギー漸近的挙動は何か？また、定常的ケースとはどのように異なるか？
• RQ3 非定常的軌道の応答関数は、同じ瞬時の不変量を持つ定常的軌道の応答で、どのような条件下で近似可能か？
• RQ4 時間依存加速度に対して準定常的近似は有効か？その適用範囲を制限する要件は何か？

主な発見

• 非定常的軌道では、高エネルギー領域において一般に $E^{-2}$ のべき乗則に従って応答関数が減衰するが、定常的ケースでは指数関数的減衰を示すのと対照的である。
• 特定のケース（例えば、ある種の線形軌道）では、高次不変量に依存して、$E^{-4}$ または $E^{-6}$ にまで速やかに減衰する場合がある。
• 瞬時の $a$、$T$、$H$ を同じ持つ定常的軌道の応答で近似する準定常的近似は、$ olinebreak[4]\dot{a}/a^2 \ll 1$ を満たす低エネルギー領域でのみ有効である。
• この近似は高エネルギー領域で崩壊する。特に $E/a \gtrsim 1$ の領域では、べき乗則による減衰が定常的ケースの指数関数的減衰と整合しないためである。
• 数値的結果から、線形軌道 $a(\tau) = \tau_0^{-2/3} (-\tau)^{-1/3}$ に対して、$-\tau/\tau_0 > 100$ の範囲で準定常的近似が成立することが示された。これはブラックホール類似性において約 $0.07M_{\text{Pl}}$ のブラックホール質量に対応する。
• この軌道に対して、$ olinebreak[4]\tau \to 0$ のとき応答関数は $R_+^0(E) \to (2/15\pi)(g^2/\tau_0)$ に有限値に収束するが、$a(\tau) = -\alpha/\tau$ モデルでは発散するのとは対照的である。