[論文レビュー] Unsolved Problems in Visibility Graphs of Points, Segments and Polygons

Subir Kumar Ghosh, Partha P. Goswami|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 99被引用数 5

ひとこと要約

このサーベイ論文は、点、線分、多角形の可視性グラフに関する未解決問題と予想をまとめており、認識、特徴付け、再構成、クリーク計算、数え上げ、表現の分野をカバーしている。計算幾何学における根本的な課題、例えば可視性グラフ認識のNP完全性や表現複雑度の上限について言及しており、主な貢献は43の未解決問題の包括的リストと、可視性グラフの表現および数え上げに関するより tightened 界の提示である。

ABSTRACT

In this survey paper, we present open problems and conjectures on visibility graphs of points, segments and polygons along with necessary backgrounds for understanding them.

研究の動機と目的

• 点、線分、多角形の可視性グラフにおける未解決問題を体系的に整理し、提示すること。
• 計算幾何学研究における可視性グラフ認識、特徴付け、再構成の根本的課題を特定すること。
• 整数座標のビットサイズ要件や被覆集合表現を含む、可視性グラフ表現の複雑度を調査すること。
• 最大クリーク計算や可視性グラフの数え上げといった問題の計算困難性を調査すること。
• 単純多角形の非同型可視性グラフの数およびその表現の空間複雑度に対するより tightened 界を確立すること。

提案手法

• 計算幾何学および幾何グラフ理論における可視性グラフに関する既存の文献をサーベイすること。
• 幾何的可視性基準を用いて、点、交差しない線分、穴あり・なしの単純多角形の可視性グラフを定義すること。
• 可視性グラフの計算に向けたアルゴリズムを提示すること。点集合では$O(n^2)$時間、単純多角形では$O(E)$出力に依存する時間で実行可能。
• 三角形拡張可能順序（triangle-extendible ordering）の概念を導入し、最大クリーク計算への関連性を示すこと。
• Warrenの定理を用いて、単純多角形の非同型可視性グラフの数を$2^{O(n\log n)}$で界じること。
• クリークと完全二部グラフを用いた被覆集合表現を提案し、$O(n\log^4 n)$ビットの界を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数座標が指数的ビット数を要する場合、可視性グラフ認識がNPに属するかどうかは未解決である。
• RQ2 すべての可視性グラフの端点に、多項式的ビット数で表現可能な整数座標を割り当てることは可能か？
• RQ3 最適な被覆集合表現に必要なビット数のタイトな漸近的界は何か？
• RQ4 可視性グラフにおける最大クリーク問題はNP困難か、それとも多項式時間で解けるか？
• RQ5 頂点数$n$の単純多角形の非同型可視性グラフの数に対する、改善された下界と上界は何か？

主な発見

• 単純多角形の非同型可視性グラフの数は、少なくとも$2^{n-4}$で、最大で$2^{O(n\log n)}$であり、界の間には依然として大きなギャップが存在する。
• 整数座標が多項式的ビット数で表現可能でない限り、可視性グラフ認識がNPに属するかどうかは未解決である。
• 可視性グラフの被覆集合表現には、最悪ケースで$\Omega(n\log^2 n)$ビットが必要であり、既存の最良構成では$O(n\log^4 n)$ビットが使用されている。
• ハミルトン閉路（多角形の境界）が与えられている場合、単純多角形の可視性グラフにおける最大クリーク計算は$O(n^2 e)$時間で解ける。
• 交差しない線分および多角形の可視性グラフは$O(n^2)$時間で計算可能であり、単純多角形に対しては出力に依存するアルゴリズムも存在する。
• 同型可視性グラフを持つ2つの多角形が相似でないことがあるため、可視性グラフだけでは多角形の形状が相似まで決定されない。