[論文レビュー] Unstable delayed feedback control to change sign of coupling strength for weakly coupled limit cycle oscillators

Viktor Novičenko, Irmantas Ratas|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、弱い結合の極限サイクル発振系において、結合強度の符号を反転可能にする、不安定な自由度を有する修正遅延フィードバック制御（DFC）アルゴリズムを提案する。制御ループを制御的に不安定化することで、従来のDFCでは達成できなかった、同調位相と反位相の同期状態の切り替えが可能となり、同時に望ましい安定同期状態に達した段階で制御力が消えるため、非侵襲的であることが保証される。

ABSTRACT

Weakly coupled limit cycle oscillators can be reduced into a system of weakly coupled phase models. These phase models are helpful to analyze the synchronization phenomena. For example, a phase model of two oscillators has a one-dimensional differential equation for the evolution of the phase difference. The existence of fixed points determines frequency-locking solutions. By treating each oscillator as a black-box possessing a single input and a single output, one can investigate various control algorithms to change the synchronization of the oscillators. In particular, we are interested in a delayed feedback control algorithm. Application of this algorithm to the oscillators after a subsequent phase reduction should give the same phase model as in the control-free case, but with a rescaled coupling strength. The conventional delayed feedback control is limited to the change of magnitude but does not allow the change of sign of the coupling strength. In this work, we present a modification of the delayed feedback algorithm supplemented by an additional unstable degree of freedom, which is able to change the sign of the coupling strength. Various numerical calculations performed with Landau-Stuart and FitzHugh-Nagumo oscillators show successful switching between an in-phase and anti-phase synchronization using the provided control algorithm. Additionally, we show that the control force becomes non-invasive if our objective is stabilization of an unstable phase difference for two coupled oscillators.

研究の動機と目的

• 従来の遅延フィードバック制御（DFC）が、結合強度の符号反転を不可能にする「奇数制限定理」を克服すること。
• 結合強度の符号を反転させることで、不安定な同期状態（例：ハイゲンズの時計における反位相、メトロノームにおける同調位相）の安定化を可能にする制御フレームワークの開発。
• 望ましい同期状態が安定化された段階ですでに制御力が消えるため、非侵襲的である制御メカニズムの設計。
• 結合強度の符号反転が望ましい集団的ダイナミクスを実現するために不可欠である制御状況において、位相還元理論の適用範囲を拡張すること。
• ランドウ＝シュタートおよびフィッツフュー＝ナグルォの系を含む、さまざまな発振子モデルに対して、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 標準的な遅延フィードバック制御ループに不安定な自由度を導入することで、奇数制限定理を破る。
• 制御則を変更し、発振子の位相ダイナミクスが、制御なしの場合と比較して符号が反転した位相方程式に従うようにする。
• 位相還元理論を用いて、修正された制御下での有効な位相方程式を導出し、結合強度が負の符号でスケーリングされることを示す。
• 制御力が安定化後に消えることを保証するため、不安定な内部ダイナミクス成分を含む時間遅延フィードバック信号を用いてコントローラーを実装する。
• 各発振子を単一入力・単一出力のブラックボックスとして扱い、システムの完全な知識がなくても制御が可能となるように、弱い結合の極限サイクル発振子に適用する。
• ランドウ＝シュタートおよびフィッツフュー＝ナグルォの発振子を用いて数値的に手法を検証し、同調位相と反位相同期状態の間での成功した切り替えを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅延フィードバック制御方式をどのように修正すれば、弱い結合の極限サイクル発振子における結合強度の符号反転を可能にすることができるか？
• RQ2 不安定な自由度の導入により、もともとは不安定な同期状態（例：ハイゲンズの時計における反位相）の安定化が可能になるか？
• RQ3 望ましい同期状態に到達した段階で、制御力が非侵襲的になる、すなわち、システムが目標固定点に達した際に消えるか？
• RQ4 提案された制御手法は、ランドウ＝シュタートおよびフィッツフュー＝ナグルォ系を含む、さまざまな発振子モデルに対してロバストであるか？
• RQ5 修正されたコントローラーは、発振子の複雑さやネットワークトポロジーに依存しない制御を可能にする、位相還元の普遍性を保持するか？

主な発見

• 修正されたコントローラーは、結合されたランドウ＝シュタートおよびフィッツフュー＝ナグルォ発振子において、同調位相と反位相の同期状態の間で正常に切り替えを実現した。
• 目標同期状態が安定化された段階ですでに制御力が消えることから、コントローラーの非侵襲性が確認された。
• 不安定な内部自由度を導入することで、奇数制限定理を克服し、結合強度の符号反転を可能にした。
• 数値シミュレーションにより、制御下での位相ダイナミクスが、符号が反転したスケーリングされた結合強度の理論的予測と一致することが確認された。
• ハイゲンズの時計における反位相同期のような、もともとは不安定な固定点を位相差方程式で安定化した。
• 本手法は、さまざまな発振子タイプに対してロバストかつ有効であり、弱い結合の極限サイクル系への広範な適用可能性を示した。