[論文レビュー] Unstable Kodaira Fibrations

Yujen Shu|ArXiv.org|Dec 19, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな曲線の自己積（genus ≥ 2）および非ゼロの符号を持つある種のKodaira-fibredな表面が、特定の極化に関してスロープ半安定でないことを示している。スロープおよびSeshadri定数の計算を通じて、これらの多様体が定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量を含まないケーラー類を有することを示し、スロープ不安定性によるcscK計量存在の新たな障害を提供している。

ABSTRACT

Being inspired by Ross' construction of unstable products of certain smooth curves, we show that the product $C imes C$ of every smooth curve $C$ of genus at least 2 is not slope semistable with respect to certain polarisations. Besides, we produce examples of Kodaira-fibred surfaces of nonzero signature, which are not slope semistable with respect to some polarisations, and so they admit Kähler classes that do not contain any constant scalar curvature Kähler metrics.

研究の動機と目的

• スムーズな曲線の自己積のスロープ不安定性を、ロスによる特別な被覆の場合に限らない、すべての滑らかな曲線（genus ≥ 2）に拡張すること。
• 非ゼロの符号を持つある種のKodaira-fibred表面が、特定の極化に関してスロープ半安定でないことを示すこと。
• スロープ不安定性が、特定のケーラー類において定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の存在を妨げる理由を確立すること。
• スロープ不安定性と漸近的ヒルベルトおよびチャウ半安定性を結びつけ、同じ極化に関してこれらの安定性概念が失敗することを示すこと。

提案手法

• 極化多様体のスロープ安定性理論を用い、ヒルベルト多項式とリーマン・ロッホを用いてスロープ μ(X,L) および商スロープ μ_c(O_Z,L) を定義する。
• Seshadri定数 ε(Z,L) を用いて、曲線 Z 沿いの吹き上げ後の L - cE の正則性を測定する。
• X = C × C 及びその吹き上げにおいて、交線論を用いて表面のスロープ μ(X,L) および商スロープ μ_c(O_Z,L) を明示的に計算する。
• 極化 L_{2,t,ε} = t f_2 - δ′_2 + ε K_{X_2} および l_{2,s,ε} = s f_2 + δ′_2 + ε K_{X_2} を考える。ここで t は q/(k−1) に近く、s は q に近い。
• ε → 0+ および s,t → q や q/(k−1) の漸近的挙動を、canonical 除法、ファイバー、対角曲線を含む交線数を用いて分析する。
• 基準を適用する：ある 0 < c ≤ ε(Z,L) に対して μ(X,L) > μ_c(O_Z,L) が成り立つならば、(X,L) はスロープ半安定でない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊被覆の場合に示された曲線の積 C × C のスロープ不安定性が、すべての滑らかな曲線（genus ≥ 2）に一般化可能か？
• RQ2 非ゼロの符号を持つKodaira-fibred表面が、特定の極化に関してスロープ半安定でないか？
• RQ3 スロープ不安定性が、ある種のケーラー類において定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の非存在を示唆するか？
• RQ4 このような不安定な表面は、同じ極化に関して漸近的ヒルベルトまたはチャウ半安定か？
• RQ5 非自明なファイブレーション構造を有する表面において、Seshadri定数および商スロープは不安定性を検出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の滑らかな曲線 C（genus q ≥ 2）の自己積表面 X = C × C は、L_{2,t,ε}（t が q/(k−1) に近く、ε → 0+）のような特定の極化に関してスロープ半安定でない。
• 非ゼロの符号を持つKodaira-fibred表面 X_2 に対して、l_{2,s,ε}（s が q に近い）という極化では、μ(X_2, l_{2,s,ε}) > μ_c(O_{D_2}, l_{2,s,ε}) が成り立ち、ε が小さいときおよび s が q に近いときスロープ不安定性が生じる。
• Seshadri定数 ε(D_2, l_{2,s,ε}) ≥ 1 が下から有界であるため、商スロープが適切に定義され、計算可能であることが保証される。
• s → q+ および ε → 0+ のとき、商スロープ μ_c(O_{D_2}, l_{2,s,ε}) が μ(X_2, l_{2,s,ε}) より厳密に小さいことが示され、不安定性が証明される。
• その結果、非ゼロの符号を持つKodaira-fibred表面には、cscK計量を含まないケーラー類が存在する。
• これらの表面は、同じ極化に関して漸近的ヒルベルト半安定でも、漸近的チャウ半安定でもない。これは、スロープ不安定性が K-安定性およびヒルベルト/チャウ安定性に与える影響による。