[論文レビュー] Unstable loci in flag varieties and variation of quotients

Henrik Seppänen, Valdemar V. Tsanov|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、半単純部分群 Ĝ ⊂ G による旗多様体 G/B への作用における不安定部分集合の組合せ論的記述を提供し、Ĝ-全般的なコーンの正則境界から内部へ向かって、その余次元が1ずつ増加するステップごとに、凸多面体的チェンバーを形成することを示している。また、G/B のĜ-全般的なコーン内のGITチェンバーと、得られる幾何的商の有効的コーン内のモーリー・チェンバーとの間の正確な一対一対応を確立し、このような商がすべての有理的収縮がGITによって誘導されるモーリー・ドリーム空間であることを証明している。

ABSTRACT

We consider the action of a semisimple subgroup $\hat G$ of a semisimple complex group $G$ on the flag variety $X=G/B$, and the linearizations of this action by line bundles $\mathcal L$ on $X$. The main result is an explicit description of the associated unstable locus in dependence of $\mathcal L$, as well as a combinatorial formula for its (co)dimension. We observe that the codimension is equal to 1 on the regular boundary of the $\hat G$-ample cone, and grows towards the interior in steps by 1, in a way that the line bundles with unstable locus of codimension $q$ form a convex polyhedral cone. We also give a recursive algorithm for determining all GIT-classes in the $\hat G$-ample cone of $X$. As an application, we give conditions ensuring the existence of GIT-classes $C$ with an unstable locus of codimension at least two and which moreover yield geometric GIT quotients. Such quotients $Y_C$ reflect global information on $\hat G$-invariants. They are always Mori dream spaces, and the Mori chambers of the pseudoeffective cone $\overline{{ m Eff}}(Y_C)$ correspond to the GIT-chambers of the $\hat G$-ample cone of $X$. Moreover, all rational contractions $f: Y_{C} -- o Y'$ to normal projective varieties $Y'$ are induced by GIT from linearizations of the action of $\hat G$ on $X$. In particular, this is shown to hold for a diagonal embedding $\hat G \hookrightarrow (\hat G)^k$, with sufficiently large $k$.

研究の動機と目的

• 線分束による線形化に応じて、半単純部分群 Ĝ ⊂ G による旗多様体 G/B における不安定部分集合を特徴付けること。
• 線形化に応じた不安定部分集合の余次元を関数として特定し、Ĝ-全般的なコーンの境界で1から始まり、内部に向かって離散的ステップで1ずつ増加することを示すこと。
• G/B のĜ-全般的なコーン内のGITチェンバーと、商 Y = Xss(λ)//Ĝ の有効的コーン内のモーリー・チェンバーとの間の一対一対応を確立すること。
• 商 Y から正規の射影多様体へのすべての有理的収縮がGITによって誘導されること、および Y がモーリー・ドリーム空間であることを証明すること。
• Ĝ ⊂ G の対角埋め込み Ĝ → (Ĝ)k に対して、Ĝ-全般的なコーン内のすべてのGITチェンバーを計算する再帰的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• ヒルベルト＝ムーディーの基準およびキルワン＝ネスの層化を用いて、1パラメータ部分群作用と旗多様体における不安定性を分析すること。
• 適合するウェイル・チェンバーおよびキュービクルを用いた組合せ論的道具を適用し、重みとウェイル群要素を用いた不安定部分集合の公式を導出すること。
• Ĝ-全般的なコーンをPic(X)R内に有理的多面体的コーンとして特徴付ける。その不等式は、Ĝ のコウェイト格子の元 ξ と G のウェイル群の元 w のペア (ξ, w) を含むヒルベルト＝ムーディー基準から導出される。
• ポポフの木アルゴリズムに基づく再帰的アルゴリズムを構築し、Ĝ-全的なコーン内のすべてのGITチェンバーを計算すること。
• 商 Y = Xss(λ)//Ĝ がモーリー・ドリーム空間であることを示す。具体的には、その有効的コーン Eff(Y) がĜ-全的なコーン CĜ(X) に自然に同型であり、Eff(Y) 内のモーリー・チェンバーが CĜ(X) 内のGITチェンバーとちょうど一致することを示すこと。
• Y から正規の射影多様体 Y′ へのすべての有理的収縮 f: Y 99K Y′ がGITによって誘導されること、すなわち、ある λ に対して f = fλ と書けることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ĝ-全的なコーン内の線形化の選択に応じて、G/B 内の不安定部分集合の余次元はどのように変化するか？
• RQ2 与えられた線形化における不安定部分集合の正確な組合せ論的構造は何か？ そして、それをどのように計算できるか？
• RQ3 G/B のĜ-全的なコーン内のGITチェンバーと、商 Y の有効的コーン内のモーリー・チェンバーの関係は何か？
• RQ4 いつ、GIT商 Y = Xss(λ)//Ĝ が、すべての有理的収縮がGITによって誘導されるモーリー・ドリーム空間となるか？
• RQ5 与えられた埋め込み Ĝ ⊂ G に対して、Ĝ-全的なコーン内のすべてのGITチェンバーを計算する再帰的アルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• Ĝ-全的なコーンの正則境界上では、G/B 内の不安定部分集合の余次元は正確に1であり、内部に向かって1ずつ増加し、凸多面体的チェンバーを形成する。
• 余次元 q である不安定部分集合を有する線分束は、Ĝ-全的なコーン内で凸多面体的コーンをなす。
• 幾何的商 Y = Xss(λ0)//Ĝ はモーリー・ドリーム空間であり、その有効的コーン Eff(Y) は自然にĜ-全的なコーン CĜ(X) に同型である。
• Eff(Y) 内のモーリー・チェンバーと CĜ(X) 内のGITチェンバーとの間には一対一対応があり、チェンバー構造が完全に一致する。
• Y から正規の射影多様体 Y′ へのすべての有理的収縮 f: Y 99K Y′ はGITによって誘導され、すなわち f = fλ を満たす λ が存在し、fλ はGIT商写像である。
• 十分に大きな k に対して対角埋め込み Ĝ → (Ĝ)k の場合、商 Y はモーリー・ドリーム空間であり、Y からのすべての有理的収縮はGITによって誘導される。