[論文レビュー] Unstable patterns in autocatalytic reaction-diffusion-ODE systems

Anna Marciniak‐Czochra, Grzegorz Karch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、拡散する化学種が拡散しない成分と相互作用する反応拡散ODE系におけるパターン形成を調査する。自己触媒反応による自己触媒作用に起因する拡散駆動不安定性（チューリング不安定性）が生じるが、その結果、空間的に非一様な定常解はすべて不安定化され、安定なチューリングパターンの存在が排除される。不安定性は線形化作用素における連続スペクトルに起因し、特定の非線形性に対しては不連続なパターンに対してもこの結果が拡張可能である。

ABSTRACT

The aim of this paper is to contribute to the understanding of the pattern formation phenomenon in reaction-diffusion equations coupled with ordinary differential equations. Such systems of equations arise, for example, from modeling of interactions between cellular processes such as cell growth, differentiation or transformation and diffusing signaling factors. We focus on stability analysis of solutions of a prototype model consisting of a single reaction-diffusion equation coupled to an ordinary differential equation. We show that such systems are very different from classical reaction-diffusion models. They exhibit diffusion-driven instability (Turing instability) under a condition of autocatalysis of non-diffusing component. However, the same mechanism which destabilizes constant solutions of such models, destabilizes also all continuous spatially heterogeneous stationary solutions, and consequently, there exist no stable Turing patterns in such reaction-diffusion-ODE systems. We provide a rigorous result on the nonlinear instability, which involves the analysis of a continuous spectrum of a linear operator induced by the lack of diffusion in the destabilizing equation. These results are extended to discontinuous patterns for a class of nonlinearities.

研究の動機と目的

• 細胞プロセスを含む生物学的文脈における、常微分方程式と結合した反応拡散系におけるパターン形成の理解を図ること。
• プロトタイプの反応拡散-ODEモデルにおける定数解および空間的に非一様な定常解の安定性を分析すること。
• 1つの成分が拡散しない系において、安定なチューリングパターンが出現しうるかを特定すること。
• 自己触媒反応が拡散しない成分における不安定性を引き起こす役割を調査すること。
• 特定の非線形性のクラスに対して、不連続な定常解への不安定性分析を拡張すること。

提案手法

• 1つの反応拡散方程式と1つの常微分方程式から成るプロトタイプモデルの構築。
• 定数解の安定性を調べるための線形安定性解析を実施し、拡散駆動不安定性が生じる条件を同定する。
• 線形化作用素のスペクトルを分析し、特にODE成分に拡散がないことによって生じる連続スペクトルに注目する。
• 線形化作用素のスペクトル解析を用いて、定数解および連続的な空間的非一様な定常解の非線形不安定性を証明する。
• 特定の非線形性のクラスに対して、不連続な定常解への不安定性結果を拡張する。
• 非拡散成分に起因する連続スペクトルを扱うために関数解析的手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散しない成分を有する反応拡散-ODE系において、拡散駆動不安定性（チューリング不安定性）が生じうるか？
• RQ2 拡散駆動不安定性が存在するにもかかわらず、このような系に安定なチューリングパターンが存在するか？
• RQ3 1つの成分に拡散がない場合、空間的に非一様な定常解の安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 自己触媒反応が定数解および非一様解の両方を不安定化する役割を果たすか？
• RQ5 特定の非線形性に対して、不安定性結果を不連続な定常パターンへ拡張できるか？

主な発見

• 非拡散成分が自己触媒的である場合、反応拡散-ODE系において拡散駆動不安定性が生じうる。
• 定数解を不安定化するメカニズムが、連続的な空間的非一様な定常解に対しても同様に作用する。
• その結果、非一様状態が普遍的に不安定化されるため、このような系では安定なチューリングパターンは存在し得ない。
• 不安定性は、ODE成分に拡散がないことによって生じる線形化作用素の連続スペクトルに起因する。
• 非線形不安定性の結果は、線形化作用素のスペクトル解析を用いて厳密に確立されている。
• 特定の非線形性のクラスに対しては、不連続な定常解に対しても不安定性が拡張され、パターン安定性の広範な失敗を示している。