[論文レビュー] Unsteady 3D-Navier-Stokes System with Tresca's Friction Law

Mahdi Boukrouche, Imane Boussetouan+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、温度依存性の粘性係数と境界の一部におけるTrescaの摩擦法則を有する非定常3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス系に対して、正則化ペナルティ法とコンパクト性の議論を用いて弱解の存在を確立する。この手法は非定数の粘性係数と混合境界条件を扱い、側面境界における時間依存速度と下部境界における摩擦付きスリップを含む。適切な関数空間枠組みにおいて解への収束を証明する。

ABSTRACT

Motivated by extrusion problems, we consider a non-stationary incompress-ible 3D fluid flow with a non-constant (temperature dependent) viscosity, subjected to mixed boundary conditions with a given time dependent velocity on a part of the boundary and Tresca's friction law on the other part. We construct a sequence of approximate solutions by using a regularization of the free boundary condition due to friction combined with a particular penalty method, reminiscent of the " incompressibility limit " of compressible fluids, allowing to get better insights into the links between the fluid velocity and pressure fields. Then we pass to the limit with compactness arguments to obtain a solution to our original problem.

研究の動機と目的

• 非定常3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス系に、境界の一部におけるTrescaの摩擦法則を適用した弱解の存在を確立すること。
• 温度依存性の粘性係数をナビエ＝ストークス枠組みに組み込み、押出成形プロセスにおける現実の流体挙動をモデル化すること。
• 混合境界条件（上部境界でスリップなし、側面境界で時間依存速度、下部移動境界で摩擦付きスリップ）を扱うこと。
• 非圧縮性を保ちつつ、コンパクト性に基づく収束を可能にする正則化ペナルティ法を開発すること。
• 薄層近似を仮定せずに、一般の3次元幾何形状への解析の拡張を図ること。

提案手法

• Trescaの摩擦法則に対して、小さなパラメータεに依存する滑らかな関数族を用いて正則化を行い、微分不能な摩擦条件を置き換える。
• 非圧縮性制約を弱く強制する目的で、圧縮流体における非圧縮極限に類似したペナルティ法を採用する。
• 変分不等式の枠組みに問題を再定式化し、上部境界で消える発散なしベクトル場の空間にテスト関数をとる。
• ガラーキン近似と時間離散化を用いて、(ṽε, pε)という近似解の列を構成し、適切な関数空間において一様なバインディングを導出する。
• L∞(0,τ;L²(Ω))、L²(0,τ;H¹(Ω))、H⁻¹(0,τ;L²₀(Ω))における収束を活用して、(ṽε, pε)の部分列に対してコンパクト性の議論を適用し、弱*および弱収束極限を抽出する。
• 速度の境界上へのトレースの強いL²収束の下で、Ψε(wε) → Ψ(w)を示す重要な補題を用いて、正則化された摩擦項の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常3次元ナビエ＝ストークス系にTrescaの摩擦法則と温度依存性粘性係数を組み合わせた弱解が存在可能か？
• RQ2 物理的・数学的構造を保ちつつ、微分不能な摩擦条件をどのように正則化できるか？
• RQ3 ペナルティ法が非圧縮性制約の近似に果たす役割と、極限過程におけるコンパクト性の確保に与える影響は何か？
• RQ4 薄層幾何形状や小領域厚さの仮定なしに解を得ることは可能か？
• RQ5 正則化およびペナルティ系の収束性が、元の問題に対する解の存在を保証する仕組みは何か？

主な発見

• 一般の3次元領域における非定常3次元ナビエ＝ストークス系に、Trescaの摩擦法則と温度依存性粘性係数を有する弱解 (v, p) が存在する。
• 速度場 v は L∞(0,τ;L²(Ω)) ∩ L²(0,τ;H¹(Ω)) に属し、その時間微分は L⁴/³(0,τ; (V₀div)′) に属する。
• 圧力 p は H⁻¹(0,τ;L²₀(Ω)) に属し、解は問題の変分不等式の定式化を満たす。
• 境界上の速度トレースの強いL²収束の下で、補題を用いて正則化された摩擦項の収束が厳密に確立される。
• 解は境界条件を満たす：Γ₁ × (0,τ) で v = 0、ΓL × (0,τ) で v = gζ、Γ₀ × (0,τ) でTrescaの摩擦法則。
• 領域厚さに関する制限のない仮定を避け、薄層近似を用いない一般の3次元幾何形状を許容する。