[論文レビュー] Uo-convergence and its applications to Cesàro means in Banach lattices

Niushan Gao, Vladimir G. Troitsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 26被引用数 29

ひとこと要約

この論文はBanach格子におけるuo収束（非有界順序収束）を導入し、分析し、正則部分格子における安定性を確立するとともに、Cesàro平均、Komlós型定理、Banach-Saks性質に関する結果を統一的かつ拡張的に扱う。主な貢献は、Komlósの定理の内在的で測度論的依存のない定式化と、古典的な関数解析および作用素論の結果を短く直接的に示す新しい順序論的枠組みの構築にある。

ABSTRACT

A net $(x_α)$ in a vector lattice $X$ is said to uo-converge to $x$ if $|x_α-x|\wedge u\xrightarrow{ m o}0$ for every $u\ge 0$. In the first part of this paper, we study some functional-analytic aspects of uo-convergence. We prove that uo-convergence is stable under passing to and from regular sublattices. This fact leads to numerous applications presented throughout the paper. In particular, it allows us to improve several results in [26,27]. In the second part, we use uo-convergence to study convergence of Cesàro means in Banach lattices. In particular, we establish an intrinsic version of Komlós' Theorem, which extends the main results of [35,16,31] in a uniform way. We also develop a new and unified approach to Banach-Saks properties and Banach-Saks operators based on uo-convergence. This approach yields, in particular, short direct proofs of several results in [21,24,25].

研究の動機と目的

• ベクトル格子およびBanach格子におけるuo収束の関数解析的理論を構築すること。
• 正則部分格子および順序完備化におけるuo収束の安定性を確立すること。
• uo収束を用いて、Banach格子におけるCesàro平均および収束に関する結果を拡張的かつ統一的に扱うこと。
• Banach-Saks性質および作用素を研究するための新しい順序論的枠組みを提供すること。
• Komlós型定理およびBanach-Saks作用素の支配に関する、内在的で測度論的依存のない定式化を提示すること。

提案手法

• uo収束を $ x_\alpha \xrightarrow{\text{uo}} x $ と定義する。これはすべての $ u \geq 0 $ に対して $ |x_\alpha - x| \wedge u \xrightarrow{\text{o}} 0 $ が成り立つことと同値である。
• 正則部分格子が順序収束およびuo収束を保存することを証明し、部分格子とその完備化との間で結果を移行可能にする。
• 正の関数型のAL表現を用いて、uo収束を $ L_1 $-空間におけるほとんど everywhere 収束と結びつける。
• uo収束を用いて、Banach格子におけるpre-KomlósおよびKomlós性質を定義し、測度論的依存のない結果を一般化する。
• uo収束を用いて、Cesàro平均およびほとんど順序有界性を用いて、Banach-Saksおよび弱いBanach-Saks作用素を特徴付ける。
• uo理論的枠組みを用いて、正のBanach-Saks作用素の支配に関する結果を短く直接的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 uo収束は正則部分格子および順序完備化においてどのように振る舞うか。
• RQ2 測度論的仮定に依存せずに、Komlós型定理の内在的定式化を構築できるか。
• RQ3 uo収束は、Banach格子におけるCesàro平均の理論をどれほど統一的かつ簡略化できるか。
• RQ4 uo収束は、古典的なBanach-Saks性質および作用素に関する結果に対して、新たな短い証明を提供できるか。
• RQ5 uo理論的手法を用いて、弱いBanach-Saks作用素の支配に関する必要十分条件は何か。

主な発見

• 部分格子 $ Y $ が $ X $ において正則であることは、$ X $ および $ Y $ におけるuo収束が一致することと同値であり、これにより、以前の結果における順序完備性の仮定を除去できる。
• 任意のベクトル格における直交列は0にuo収束する。また、$ x_\alpha \xrightarrow{\text{uo}} x $ であることは、弱い単位 $ w $ に対して $ |x_\alpha - x| \wedge w \xrightarrow{\text{o}} 0 $ が成り立つことと同値である。
• Banach格子が正のシュール性質を有するのは、すべてのuo零列および弱い零列がノルム零列であるときかつそのときに限る。
• 順序連続関数型 $ h $ を持つAL表現において、$ X $ におけるuo収束は $ L_1(\mu) $ におけるほとんど everywhere 収束に対応する。
• Banach格子におけるpre-KomlósおよびKomlós性質は、uo収束を用いた内在的特徴づけが可能であり、[31, 16, 35]における結果を一般化する。
• 定理6.17は、Cesàro平均のuo収束を用いたBanach-Saksおよび弱いBanach-Saks作用素の新しい特徴づけを提供し、支配に関する結果の短い証明を可能にする。特に、補題6.18における正の作用素に関する結果も含む。