[論文レビュー] Up-down ordered Chinese restaurant processes with two-sided immigration, emigration and diffusion limits

Quan Shi, Matthias Winkel|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Migration, Ethnicity, and Economy参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、二面的移住（移民・脱出）を伴う三パラメータ族の上り下り順序付き中国レストラン過程（PCRP）を導入し、既存のモデルを一般化する。自己同形拡散極限（SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)）を確立し、ポアソン＝ディリクレ分布を全範囲 θ = θ₁ + θ₂ − α ≥ −α に拡張することで、フレミング＝ヴィオット過程や木値マルコフ過程における新応用が可能になる。

ABSTRACT

We establish scaling limit theorems for the up-down ordered Chinese restaurant processes (oCRPs) of Rogers and Winkel as processes in a space of interval partitions. As previously conjectured, the limits are self-similar diffusions previously constructed directly in the continuum. We extend the oCRP model and the results to a three-parameter family ${ m oCRP}^{(α)}(θ_1,θ_2)$, $α\in(0,1)$, $θ_1,θ_2\ge 0$. We use the scaling limit approach to extend existing stationarity results to the full three-parameter family, identifying an extended family of Poisson--Dirichlet interval partitions. Their ranked sequence of interval lengths has Poisson--Dirichlet distribution with parameters $α\in(0,1)$ and $θ:=θ_1+θ_2-α\ge-α$, including for the first time the usual range of $θ>-α$ rather than being restricted to $θ\ge 0$. This has applications to Fleming--Viot processes, nested interval partition evolutions and tree-valued Markov processes, notably relying on the extended parameter range.

研究の動機と目的

• ロジャースとウィンクルの二パラメータPCRPを、独立した左（移民）および右（脱出）の流入率を有する三パラメータ族に一般化すること。
• 適切にスケーリングされたPCRP過程の弱収束を、自己同形区間分割拡散（SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)）に確立すること。
• ポアソン＝ディリクレ区間分割の定常性結果を、θ ≥ −α の全範囲、特に負のθを含む範囲に拡張すること。
• 整数成分上の離散マルコフ連鎖と、区間分割上の連続拡散の間のスケーリング極限の関係を明らかにすること。
• 拡張されたパラメータ範囲を活用し、ネストされた区間分割進化および木値マルコフ過程における新規応用を可能にすること。

提案手法

• 表の占有状況を表す整数成分上の連続時間マルコフ連鎖を定義し、顧客の到着（上昇ステップ）と退去（下降ステップ）に基づく遷移率を設定する。
• 上昇ステップを次のようにモデル化する：(1) サイズmの表に1つずつ加わる場合、1表あたり率m−αで；(2) 新たに左端の表を開始する場合、率θ₁で；(3) 新たに右端の表を開始する場合、率θ₂で；(4) 隣接する表の間に新しい表を挿入する場合、率αで。
• 下降ステップは、各顧客が独立に率1で退去するものとする。θ = θ₁ + θ₂ − α ≤ 0 ならば、空状態∅は吸収的である。
• 累積和を用いて成分を[0,M]の区間分割として表現し、ブロックは表のサイズに対応する。
• 区間分割の空間（I_H）にハウスドルフ距離を備えた、右連続左連続関数の空間にJ₁-スコロホド位相を導入する。
• スケーリング極限技術とデ・ポアソン化を用いて、適切にスケーリングされたPCRP過程の弱収束を証明し、自己同形拡散極限SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左および右の独立した移民・脱出を有する三パラメータPCRPモデルを構築可能か？ これは既存の二パラメータモデルを一般化する。
• RQ2 適切にスケーリングされたPCRP過程の弱極限は何か？ その極限拡散の性質は何か？
• RQ3 ポアソン＝ディリクレ区間分割の定常性結果を、θ ≥ −α にまで拡張可能か？ これは負のθを含む。
• RQ4 PCRPとネストされた区間分割進化の関係は何か？ 特に木値過程の文脈において。
• RQ5 拡張されたパラメータ範囲θ ≥ −αを活用し、新たな拡散および確率過程の族を構築可能か？

主な発見

• 本稿は、α ∈ (0,1) およびθ₁,θ₂ ≥ 0 の下で、二面的移住と脱出を組み込んだ三パラメータ族のPCRP過程PCRP^{(α)}(θ₁,θ₂)を構築した。
• スケーリングされたPCRP過程の弱極限は、自己同形区間分割拡散SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)であり、既存のSSIP族を一般化する。
• 極限の区間分割の順序付き長さは、θ = θ₁ + θ₂ − α ≥ −α の下でポアソン＝ディリクレ(α, θ)に従い、既知の範囲θ ≥ 0 を超えて拡張される。
• SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)のデ・ポアソン化版はネスト性を保ち、ネストされた区間分割進化への応用を可能にする。
• 本モデルにより、木値マルコフ過程の新規構築が可能となり、特にα-γ木上の連続時間の上下マルコフ連鎖に埋め込まれたPCRPダイナミクスを含む。
• α ∈ (0,1)、γ ∈ [0,α]、n → ∞ の下で、スケーリングされた脊索および部分木サイズ過程は、初期分布PDIP^{(γ)}(1−α,γ)および破壊測度Frag^{(α)}(0,α−γ)を有するcfSSIP^{(α,0,α−γ)}(1−α)進化に分布収束する。