[論文レビュー] Upgrading the Bloch Sphere: Projective Space Foliated by Klein Bottles as a Geometrical Representation of Two-Qubit States and Their Entanglement

Oscar Perdómo, Vicente Leyton‐Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2019

Fractal and DNA sequence analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実射影空間を用いた2量子ビット純粋状態（実係数）の幾何的表現を提案する。最大にエンタングルされた状態は2つの直交する円をなし、非エンタングル状態は距離 $\pi/4$ の位置に配置されたクラインのびりょうとして実現される。最大エンタングル状態からの距離が、導出された式によりエンタングルメントエントロピーを決定し、すべてのこのような状態は局所ゲートと1つの制御Zゲートによって接続可能であり、エンタングルメント距離でパラメータ化されたクラインのびりょうによる射影空間のファイブレーションを示している。

ABSTRACT

We study the set of two-qubit pure states with real amplitudes and their geometrical representation onto a real projective space. In this representation, we show that the maximally entangled states --those locally equivalent to the Bell States --form two disjoint circles perpendicular to each other. We also show that, taking the natural Riemannian metric on this space, the set of states connected by local gates are equidistant to this pair of circles. Moreover, the unentangled, or so called product states, are $\pi/4$ units away to the maximally entangled states. This is, the unentangled states are the farthest away to the maximally entangled states. In this way, if we define two states to be equivalent if they are connected by local gates, we have that there are as many equivalent classes as points in the interval $[0,\pi/4]$ with the point $0$ corresponding to the maximally entangled states. The point $\pi/4$ corresponds to the unentangled states which geometrically are described by a Klein bottle. Finally, for every $0< d < \pi/4$ the point $d$ corresponds to a disjoint pair of Klein bottles. We also show that if a state is $d$ units away from the maximally entangled states, then its entanglement entropy is $S(d) = 1- \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2 d)^{1+\sin 2 d}}{(1-\sin 2 d)^{-1+\sin 2 d}}}$. Finally, we also show how this geometrical interpretation allows to clearly see the known result that any pair of two-qubit states with real amplitudes can be connected with a circuit that only has single-qubit gates and one controlled-Z gate.

研究の動機と目的

• 2量子ビット純粋状態（実係数）を実射影空間に幾何的に表現すること。
• この幾何学的構造における最大エンタングル状態と非エンタングル（積状態）状態の分布を特徴づけること。
• 局所ユニタリ同値性の下での距離に基づく状態の分類を、区間 $[0, \pi/4]$ でパラメータ化すること。
• 最大エンタングル状態からの幾何的距離を関数としてエンタングルメントエントロピーの閉形式を導出すること。
• 任意の2つのこのような状態が、単一量子ビットゲートと1つの制御Zゲートのみで接続可能であることを示し、幾何的構造を活用すること。

提案手法

• 2量子ビット純粋状態（実係数）の集合を、実射影空間 $\mathbb{RP}^3$ の点として表現する。
• $\mathbb{RP}^3$ にリーマン計量を定義し、局所ユニタリ変換の下での状態間の距離を測定する。
• 最大エンタングル状態（ベル状態と局所的に同値）を、この空間内での2つの不連続で直交する円として特定する。
• 最大エンタングル状態からの距離 $d$ が $0 < d < \pi/4$ のとき、その距離にある状態は2つの不連続なクラインのびりょうを形成することを示し、$d = \pi/4$ のとき非エンタングル状態に対応することを示す。
• 幾何的距離 $d$ の関数としてのエンタングルメントエントロピー $S(d) = 1 - \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2d)^{1+\sin 2d}}{(1-\sin 2d)^{-1+\sin 2d}}}$ を導出する。
• 幾何的構造を用いて、任意の2つの実係数を持つ2量子ビット状態が、単一量子ビットゲートと1つの制御Zゲートのみで接続可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2量子ビット純粋状態（実係数）を、エンタングルメント構造を捉えることができる幾何的表現としてどのように表現できるか？
• RQ2 この表現における最大エンタングル状態と非エンタングル状態の幾何的配置は何か？
• RQ3 最大エンタングル状態からの距離が、状態のエンタングルメントエントロピーとどのように関係するか？
• RQ4 すべてのこのような状態の集合が、クラインのびりょうのようなトポロジカルオブジェクトによってファイブレーション可能か？その幾何的意義は何か？
• RQ5 任意の2つのこのような状態を接続するための最小限の量子回路構造は何か？幾何学的構造はこの構造にどのように寄与するか？

主な発見

• 最大エンタングル状態の集合は、実係数を持つ2量子ビット純粋状態の実射影空間表現において、2つの不連続で直交する円をなす。
• 非エンタングル（積状態）状態は、リーマン計量において最大エンタングル状態からちょうど $\pi/4$ 離れた位置にあり、幾何学的にクラインのびりょうを形成する。
• $d \in (0, \pi/4)$ の各 $d$ に対して、最大エンタングル状態からの距離 $d$ にある状態の集合は、2つの不連続なクラインのびりょうを形成する。
• 最大エンタングル状態からの距離 $d$ にある状態のエンタングルメントエントロピーは、$S(d) = 1 - \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2d)^{1+\sin 2d}}{(1-\sin 2d)^{-1+\sin 2d}}}$ で与えられる。
• すべての実係数を持つ2量子ビット状態は、単一量子ビットゲートと1つの制御Zゲートのみで構成される回路によって接続可能であり、幾何的ファイブレーションによって確認された。
• 状態の空間は、距離 $d \in [0, \pi/4]$ でパラメータ化されたクラインのびりょうによってファイブレーションされており、$d=0$ は最大エンタングル状態に対応し、$d=\pi/4$ は非エンタングル状態に対応する。