[論文レビュー] Upper and lower fast Khintchine spectra in continued fractions

Lingmin Liao, Michał Rams|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は連分数における上界および下界の高速キンチンスペクトルを定義し、それらを計算する。これらは、正規化された対数部分商の和の上極限および下極限が 1 に等しい集合のハウスドルフ次元として定義される。本稿では、これらのスペクトルが関数 ψ(n) の成長率に依存しており、上界スペクトルは liminf(log ψ(n)/n) によって、下界スペクトルは limsup(log ψ(n)/n) によって決定され、正確な次元公式が得られることを確立する。

ABSTRACT

For an irrational number $x\in [0,1)$, let $x=[a\_1(x), a\_2(x),\cdots]$ be its continued fraction expansion. Let $ψ: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{N}$ be a function with $ψ(n)/n o \infty$ as $n o\infty$. The (upper, lower) fast Khintchine spectrum for $ψ$ is defined as the Hausdorff dimension of the set of numbers $x\in (0,1)$ for which the (upper, lower) limit of $\frac{1}{ψ(n)}\sum\_{j=1}^n\log a\_j(x)$ is equal to $1$. The fast Khintchine spectrum was determined by Fan, Liao, Wang, and Wu. We calculate the upper and lower fast Khintchine spectra. These three spectra can be different.

研究の動機と目的

• 正規化された対数部分商の和の上極限または下極限が 1 に等しい集合のハウスドルフ次元を定義し、計算すること。
• 標準的な極限ケースに限らない、上極限および下極限の振る舞いを含む、高速キンチンスペクトルの拡張をすること。
• ψ(n) の成長率が連分数展開の多重フラクタル構造に与える影響を分析すること。
• 上界および下界スペクトルが互いに異なり、標準的な高速キンチンスペクトルとも異なる可能性があることを確立すること。
• 連分数における非標準的平均化領域の多重フラクタルスペクトルを完全に特徴付けること。

提案手法

• 上界および下界の高速キンチンスペクトルを、(1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x) の上極限および下極限が 1 に等しい集合のハウスドルフ次元として定義する。
• パラメータ b = liminf(log ψ(n)/n) および B = limsup(log ψ(n)/n) を導入し、これらがスペクトルを支配することを示す。
• Aᵢ¹/ᶻ を中心とする区間内で部分商が制限された、[0,1] のカントール型部分集合の構成を用いる。ここで Aᵢ は超指数的に増加する。
• 構成された集合上に確率測度 μ を定義し、入れ子になった区間 Dₙ に対して log μ(Dₙ)/log |Dₙ| の比を用いて局所次元を推定する。
• Frostman の補題を用いて、μ および |Dₙ| の減衰率を制御することで、ハウスドルフ次元の下界を確立する。
• ψ(n) の成長を分析し、パラメータ β(ψ) を介して最大可能な次元と関連付けることで、上界を証明する。ここで b ≤ B ≤ β(ψ) が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ψ(n)/n → ∞ であるとき、(1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x) の上極限が 1 に等しい x ∈ (0,1) の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 ψ(n)/n → ∞ であるとき、(1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x) の下極限が 1 に等しい x ∈ (0,1) の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 上界および下界の高速キンチンスペクトルは、極限を用いて定義される標準的な高速キンチンスペクトルとどのように異なるか？
• RQ4 特に liminf(log ψ(n)/n) および limsup(log ψ(n)/n) として表される ψ(n) の成長率は、スペクトルをどのように決定するか？
• RQ5 b, B, および β(ψ) が互いに異なることは可能か？ もし可能であれば、これにより多重フラクタル構造にどのような意味があるか？

主な発見

• 上界高速キンチンスペクトルは、dimₕ Ē(ψ) = 1/(1 + b) で与えられ、ここで b = liminf(log ψ(n)/n) である。
• 下界高速キンチンスペクトルは、dimₕ Ē̲(ψ) = 1/(1 + B) で与えられ、ここで B = limsup(log ψ(n)/n) である。
• 上界および下界スペクトルは互いに異なる可能性があり、標準的な高速キンチンスペクトルとも異なる。標準的なスペクトルは β(ψ) = limsup(ψ(n+1)/ψ(n)) に依存する。
• ψ(n)/n → ∞ である限り、集合 Ē(ψ) および Ē̲(ψ) は常に空でない。
• パラメータ b および B は b ≤ B ≤ β(ψ) を満たし、特定の ψ に対しては厳密な不等式 b < B < β(ψ) も達成可能である。
• 本結果により、非標準的正規化関数 ψ に対するガウス力学系におけるビルコフ平均の完全な多重フラクタル記述が得られる。