[論文レビュー] Upper bound by Kolmogorov complexity for the probability in computable POVM measurement

Kohtaro Tadaki|ArXiv.org|Dec 11, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、可算な結果を持つ有限次元量子系における任意の計算可能POVM測定について、結果 $ s $ の確率が、$ K(s) $ を $ s $ のコルモゴロフ次元とするとき、乗法的定数を除いて $ 2^{-K(s)} $ で上界が与えられることを確立している。この結果は、行列値関数としての古典的普遍確率を一般化し、それらをPOVMとして特定し、量子測定確率がコルモゴロフ次元によってアルゴリズム的に制約されることを示している。

ABSTRACT

We apply algorithmic information theory to quantum mechanics in order to shed light on an algorithmic structure which inheres in quantum mechanics. There are two equivalent ways to define the (classical) Kolmogorov complexity K(s) of a given classical finite binary string s. In the standard way, K(s) is defined as the length of the shortest input string for the universal self-delimiting Turing machine to output s. In the other way, we first introduce the so-called universal probability m, and then define K(s) as -log_2 m(s) without using the concept of program-size. We generalize the universal probability to a matrix-valued function, and identify this function with a POVM (positive operator-valued measure). On the basis of this identification, we study a computable POVM measurement with countable measurement outcomes performed upon a finite dimensional quantum system. We show that, up to a multiplicative constant, 2^{-K(s)} is the upper bound for the probability of each measurement outcome s in such a POVM measurement. In what follows, the upper bound 2^{-K(s)} is shown to be optimal in a certain sense.

研究の動機と目的

• アルゴリズム的情報理論を用いて、量子測定の背後にあるアルゴリズム的構造を調査すること。
• 古典的文字列に対する普遍確率の概念を、行列値関数を通じて量子測定へと拡張すること。
• コルモゴロフ次元を用いて、計算可能なPOVMにおける測定結果の確率に基本的な上界を確立すること。
• 量子測定確率と古典的アルゴリズム的確率の関係を明確にすること。

提案手法

• 古典的普遍確率 $ m(s) $ を行列値関数 $ M(s) $ に一般化し、これは普遍的半POVMとして特定される。
• 有限のバイナリ文字列 $ s $ でラベル付けされた、計算可能なPOVM $ \{R(s)\} $ を用いて量子測定を定義する。
• 関係式 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot P(s) $ を用いる。ここで $ P(s) $ は、公平なコイン投げプログラムテープ上で $ s $ を出力する普遍確率である。
• ある定数 $ d $ に対して $ -\log_2 \operatorname{tr}(\rho R(s)) \geq K(s) - d $ が成り立つことを確立し、$ 2^{-K(s)} $ が乗法的要因を除いて確率の上界であることを示す。
• 行列値関数としての普遍的半POVM $ M(s) $ が $ M(s) \sim m(s) I $ を満たすことを証明し、量子的および古典的普遍確率を結びつける。
• 普遍的半POVMが計算可能なユニタリ変換に対して不変であることを示し、そのアルゴリズム的普遍性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コルモゴロフ次元は、計算可能なPOVM測定における結果の確率をどのように制約するか？
• RQ2 古典的普遍確率を、量子測定を記述する行列値関数に一般化できるか？
• RQ3 量子測定確率 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) $ と古典的普遍確率 $ P(s) $ の関係は何か？
• RQ4 測定結果の確率を上界で制約する量子版のコルモゴロフ次元は存在するか？
• RQ5 計算可能なユニタリ不変性は、量子測定における半POVMの普遍性にどのように影響するか？

主な発見

• 有限次元量子系における任意の計算可能なPOVM測定について、結果 $ s $ の確率は、ある $ c > 0 $ に対して $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot P(s) $ を満たす。ここで $ P(s) $ は、公平なコイン投げプログラムテープ上で $ s $ を出力する普遍確率である。
• 結果 $ s $ の確率は、乗法的定数を除いて $ 2^{-K(s)} $ で上界が与えられ、すなわち $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot 2^{-K(s)} $ が成り立つ。
• ある定数 $ d $ に対して不等式 $ K(s) - d \leq -\log_2 \operatorname{tr}(\rho R(s)) $ が成り立ち、$ 2^{-K(s)} $ が確率の上界であることが示される（定数因子を除いて）。
• 普遍的半POVMとして定義される行列値関数 $ M(s) $ は、$ M(s) \sim m(s) I $ を満たす。ここで $ m(s) $ は古典的普遍確率である。
• 各対角成分 $ M_{ii}(s) $ および正規化されたトレース $ \frac{1}{N} \operatorname{tr}(M(s)) $ は普遍確率であるため、普遍的半POVMは計算不能であることが示唆される。
• 普遍的半POVMは計算可能なユニタリ変換に対して不変である。すなわち、$ U $ が計算可能であれば、$ U^\dagger M(s) U $ もまた普遍的半POVMである。