[論文レビュー] Upper bound for the Gromov width of coadjoint orbits of compact Lie groups

Alexander Caviedes Castro|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなリー群の共伴軌道にKostant–Kirillov–Souriauのシンプレクティック形式を備えた場合、Gromov幅の上界を、J-正則曲線の技法を用いて非自明なGromov–Witten不変量を計算することによって確立する。これはGromovの非圧縮性原理を拡張するものである。主な結果は、非ゼロのコルート ̌α に対するペアリング ⟨λ, ̌α⟩ の絶対値の最小値によって、Gromov幅が上から有界であるということである。

ABSTRACT

We find an upper bound for the Gromov width of coadjoint orbits of compact Lie groups with respect to the Kirillov Kostant Souriau form by computing certain Gromov Witten invariants, the approach presented here is closely related to the one used by Gromov in his celebrated nonsqueezing theorem.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群の共伴軌道のGromov幅の上界を確立すること。
• これまでの正則および分解不能な共伴軌道に関する結果を、一般の共伴軌道へと拡張すること。
• Gromov–Witten不変量およびJ-正則曲線理論を、同次空間のシンプレクティック幾何に応用すること。
• U(n)およびSO(n)に対する既知の結果を、任意の共伴軌道へ一般化すること。

提案手法

• Gromov–Witten不変量を用いてGromov幅の上界を評価し、非自明な不変量が存在するならばシンプレクティック容量の上界が得られることを根拠とする。
• 整数シンプレクティック多様体に対してCieliebak–Mohnkeが定義したGromov–Witten不変量を適用する。
• Buch, Mihalcea, Perrinの曲線近傍を用いて、フラッグ多様体における関連する不変量を計算する。
• 複素フラッグ多様体 Gℂ/P におけるシューベルティエ多様体の構造およびBruhat分解の性質に依存する。
• フラッグ多様体間の射影写像 Gℂ/R → Gℂ/P および Gℂ/R → Gℂ/Q を用いて、コホモロジー類およびホモロジー類を関連付ける。
• Weyl群における交換および削除原理を用いて、Weyl群の元の構造とシューベルティエ胞への作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクトリー群の共伴軌道のGromov幅の鋭い上界は何か？
• RQ2 Gromov–Witten不変量は、同次空間におけるシンプレクティック容量の上界をどのように得られるか？
• RQ3 J-正則曲線を用いて導かれた上界は、U(n)およびグラスマン多様体に対して既知の結果と整合するか？
• RQ4 この手法は、分解不能な場合を越えて非正則な共伴軌道へ拡張可能か？
• RQ5 曲線近傍およびWeyl群の組合せ論は、非自明なGromov–Witten不変量の計算にどのように寄与するか？

主な発見

• 共伴軌道 𝒪λ のGromov幅は、ペアリングが非ゼロとなるすべてのコルート ̌α に対する |⟨λ, ̌α⟩| の最小値によって上から有界である。
• U(n)の共伴軌道では、この上界が鋭く、Gromov幅は異なる i, j に対する min|λi − λj| に等しい。
• グラスマン多様体では、曲線近傍の技法とフラッグ多様体のファイブレーションを用いて、上界の完全な証明が得られる。
• この証明技法により、Zoghiの分解不能フラッグ多様体に関する結果が、任意の共伴軌道へ一般化される。
• 特定のGromov–Witten不変量 GW_{A,k}(PD[pt], α2, ..., αk) が非自明であることから、Gromov幅の上界 ω(A) が得られる。
• この結果はPabiniakの下界と整合しており、U(n)や特定のSO(n)軌道では等式が成立することが確認される。