[論文レビュー] Upper Bounds for Maximally Greedy Binary Search Trees

Kyle Fox|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、将来のアクセスコストを最小化するために検索経路を貪欲に再編成する強力なオフライン二分探索木（BST）アルゴリズムであるGreedyFutureの、初めての非自明な上界を確立した。幾何的モデルを用いて、スリータとタージャンの伸張木に対するものに類似したアクセス補題と、ノードを順序付けられた順序でアクセスする際に線形時間の性能を示す逐次アクセス定理を証明し、GreedyFutureが動的最適性である可能性について強い理論的根拠を提供した。

ABSTRACT

At SODA 2009, Demaine et al. presented a novel connection between binary search trees (BSTs) and subsets of points on the plane. This connection was independently discovered by Derryberry et al. As part of their results, Demaine et al. considered GreedyFuture, an offline BST algorithm that greedily rearranges the search path to minimize the cost of future searches. They showed that GreedyFuture is actually an online algorithm in their geometric view, and that there is a way to turn GreedyFuture into an online BST algorithm with only a constant factor increase in total search cost. Demaine et al. conjectured this algorithm was dynamically optimal, but no upper bounds were given in their paper. We prove the first non-trivial upper bounds for the cost of search operations using GreedyFuture including giving an access lemma similar to that found in Sleator and Tarjan's classic paper on splay trees.

研究の動機と目的

• GreedyFutureという、強い将来知識を持つオフラインBSTアルゴリズムを分析することで、動的最適性予想に対する理論的根拠を提供すること。
• 特にアクセスコストと構造的性質の観点から、GreedyFutureの amoritzed（均等化）性能の境界を確立すること。
• GreedyFutureが、初期の木構造にかかわらず、ノードをソート順にアクセスする際に線形コストを達成することを示すこと。
• デイマンらの幾何的モデルを拡張し、貪欲BSTの挙動を分析するための構造的補題を導出すること。
• 将来的な伸張木やその他の自己調整BSTの分析を支援する基盤的結果を提供すること。

提案手法

• 各検索を、ランクをx軸、検索インデックスをy軸とする点(x,y)として表現するBSTの幾何的視点を採用し、アーバーラスフィーダルな点集合が有効なBSTアクセス列を表す。
• ランク関数と点集合の幾何的性質を用いて、均等化コストを制限する新しいアクセス補題を定義し、証明する。
• 幾何的モデルを用いて、アクセスされたノードのランクとその直前・直後のノードを追跡することで、個々の検索のコストを分析する。
• 木構造の変化を検索ごとに分析し、特に根ノードやその右部分木内のノードの相対的位置に注目することで、逐次アクセス定理を証明する。
• 構造的不変量を活用する：各検索iの後、ノードiは根であるか、またはノードi−1が根で、ノードiがその右部分木の左端にある。
• 組合せ的議論とランクに基づくポテンシャル関数を用いて、m回の検索の合計アクセスコストを上限づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GreedyFutureは、伸張木と同様に、各検索あたりO(log n)の均等化時間で達成できるか？
• RQ2 GreedyFutureは、初期の木構造にかかわらず、すべてのノードをソート順にアクセスする際に線形コストを示すか？
• RQ3 伸張木で用いられるのと類似した形式のアクセス補題をGreedyFutureに対して導出できるか？
• RQ4 GreedyFutureはO(1)-競合的であるか、少なくとも最適なオフラインコストから加法的O(m)の誤差の範囲内にあるか？
• RQ5 幾何的モデルを用いて、貪欲BST操作の均等化コストをより厳密に上限づけることができるか？

主な発見

• 論文は、GreedyFutureのアクセス補題を証明し、スリータとタージャンの伸張木解析におけるものと類似したO(log n)の均等化時間の境界を示した。
• GreedyFutureは、n個のノードをソート順にアクセスする際に、初期の木構造にかかわらずO(n)の合計コストを達成し、逐次アクセス定理を証明した。
• ノード1からnまで順にアクセスする際のm回の検索の合計コストは、4n − 2で上限づけられ、線形性能が確認された。
• 各検索の均等化コストは、5 + 6⌊lg W⌋ − 6r(si, i−1)で上限づけられ、ここでWはアクセス列の幅、r(si, i−1)はアクセスされたノードのランクである。
• 分析により、各ノードは根または根の右子のいずれかに属するノードとして、高々一度しかアクセスされないことが示され、合計アクセスコストの上限を求める上で鍵となる。
• これらの結果により、GreedyFutureが動的最適である可能性について、初めて非自明な理論的根拠が得られ、O(1)-競合的であるとの予想を支持する。