[論文レビュー] Upper bounds of topology of complex polynomials in two variables

Alexey Glutsyuk|ArXiv.org|Sep 30, 2005

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2変数多項式で定義される複素代数的曲線の位相的性質に対して明示的な上界を確立し、臨界値、消えるサイクル、アーベル積分の周期行列式の観点から考察する。正規化、ベズォウの定理、ノルムの推定を用いて、サイクル長、交差指数、積分に関する定量的上界を導出し、最終的に力学系や特異点論におけるアーベル積分の零点を研究する上で不可欠な周期行列式の下界を示す。

ABSTRACT

The paper deals with a complex polynomial $H$ in two variables having - a generic highest homogeneous part (without multiple zero lines), - nonconstant lower terms. In particular, under these conditions the polynomial $H$ has at least two distinct critical values. We prove quantitative versions of this statement. Supposing $H$ appropriately normalized (by affine coordinate changes in the image and in the source) we prove upper bounds for the following quantities: - the sum of the coefficients of the lower terms; - the minimal size of a bidisc containing all the nontrivial topology of a given level curve $S_t=\{ H=t\}$; - the minimal lengths of representatives of cycles in $H_1(S_t,\zz)$ vanishing along appropriate paths from $t$ to the critical values of $H$; - the intersection indices of the latter cycles. All these results (expect for the latter bound) are used in my joint work with Yu.S.Ilyashenko "Restricted version of the Hilbert 16-th problem" (available on the arxiv). In the latter paper we obtain an explicit upper bound of the number of zeros for a wide class of Abelian integrals.

研究の動機と目的

• 2変数の複素多項式の等高線の位相的複雑さに対する明示的上界を提供すること。
• 消えるサイクルの標準的代表元の長さとその交差指数に対する定量的推定を確立すること。
• 単項式1次形式に関連するアーベル積分行列の成分の絶対値に対する上界と、周期行列式に対する下界を導出すること。
• 多項式の等高線の実オービット上におけるアーベル積分の零点の研究への応用を支援すること。
• 多項式の実性やその形式の実性を仮定しない、超モルス多項式に対する結果の一般化すること。

提案手法

• アフィン変換を用いて多項式を正規化し、最高次の同次部分が一般的で、原点が臨界点となるようにすること。
• ベズォウの定理と次数および係数に関する事前推定を用いて、単位スケール多項式の位相を推定すること。
• 最大ノルムおよびヘルミートノルムの推定を適用し、多項式に関連する線形作用素のノルムと係数の大きさを制御すること。
• 射影写像の最大臨界値に対する下界を導出し、臨界値の位置を制御すること。
• 積分推定と漸近不等式（例：対数和に対するスターリング型推定）を用いて、周期行列式の式における定数 $ C_n $ を推定すること。
• 判別式、係数ノルム、定数 $ C(h, ar{ heta}) $ の推定を組み合わせ、最終的に周期行列式 $ \Delta(t) $ の下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な正規化のもとで、2変数の複素多項式の等高線の位相的性質に対する明示的上界は何か？
• RQ2 等高線のホモロジーにおける消えるサイクルの標準的代表元の長さをどのように制御できるか？
• RQ3 等高線のホモロジーにおける消えるサイクルの交差指数に対する定量的推定は何か？
• RQ4 単項式1形式に関連するアーベル積分行列の成分の絶対値をどのように制御できるか？
• RQ5 周期行列式 $ \Delta(t) = \det \mathbb{I}(t) $ の鋭い下界は何か？また、同様に同次部分と形式に依存する関係は何か？

主な発見

• 本稿は、複素多項式の等高線の位相的性質に対して上界を確立し、臨界点の数と位相的複雑さが次数と正規化によって制御されることを示した。
• 消えるサイクルの標準的代表元の長さが、次数 $ n $ に対して $ O(n^2) $ で有界であることを証明し、臨界値の幾何的性質に明示的な依存関係を持つことを示した。
• 消えるサイクルの交差指数は、その射影におけるピece数と位相的制約から $ O(n^4) $ で有界であることが導かれた。
• アーベル積分行列 $ \mathbb{I}(t) $ の成分の絶対値は、サイクル長と係数ノルムの推定を用いて $ \exp(O(n^2)) $ で上から抑えられることを示した。
• 周期行列式に対して鋭い下界が確立された：$ |\Delta(t)| > n^{-60n^3} (c')^{6n^3} $、ここで $ c' $ は同次部分に依存する定数である。
• 周期行列式の式における定数 $ C_n $ に対して $ \ln |C_n| > -12n^2 $ が成り立ち、これは行列式の下界に不可欠であり、分岐理論やアーベル積分への応用を支援する。