[論文レビュー] Upper Bounds on Syntactic Complexity of Left and Two-Sided Ideals

Janusz Brzozowski, Marek Szykuła|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2014

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、形式言語理論における2つの未解決問題を解消し、左イデアルおよび両側イデアルの文法的複雑さに対するタイトな上限を証明する。左イデアルに $ n $ 個の商をもつ場合、その文法的半群の要素数は最大で $ n^{n-1} + n - 1 $ 個であり、両側イデアルでは最大で $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ 個であり、両者ともタイトであり、かつ以前に予想されていたものと一致する。

ABSTRACT

We solve two open problems concerning syntactic complexity: We prove that the cardinality of the syntactic semigroup of a left ideal or a suffix-closed language with $n$ left quotients (that is, with state complexity $n$) is at most $n^{n-1}+n-1$, and that of a two-sided ideal or a factor-closed language is at most $n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$. Since these bounds are known to be reachable, this settles the problems.

研究の動機と目的

• 左イデアルの文法的複雑さが $ n^{n-1} + n - 1 $ で抑えられることの未解決予想を解消すること。
• 両側イデアルの文法的複雑さが $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ で抑えられることの未解決予想を解消すること。
• これらの上限が達成可能であることを示すことにより、両予想を解決すること。
• 状態の変換特性および順序関係に基づいて、左イデアルおよび両側イデアルの最小DFAの遷移半群の構造を分析すること。

提案手法

• 左イデアルに対して $ n $ 個の状態を持つ最小DFAを構築し、その遷移半群 $ T_n $ を分析する。この半群は文法的半群と同型である。
• 到達可能性および変換行動に基づいて、状態に部分順序 $ riangleleft $ を定義する。特に、状態 $ n-1 $ が吸収状態または固定点として果たす役割に注目する。
• サイクル構造、固定点、および重要な状態 $ p $ と $ n-1 $ の像関係に基づいて、変換を互いに排他的なケースに分類する。
• 各変換 $ t $ から、$ n-1 $ に固定点を生成するように像を修正して得られる $ s $ への単射写像 $ f $ を定義し、各ケース間で一意性を保証する。
• 背理法を用いて、ケース分析がすべての変換をカバーしていることを証明する。条件を満たさない場合、サイクルが存在することになり、仮定に矛盾する。
• 遷移半群の最大サイズが、半群が集合 $ S_n $ に等しい場合にのみ達成されることを確立する。この集合の濃度が示された値と一致することが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左イデアルの文法的複雑さに対する上限 $ n^{n-1} + n - 1 $ は、状態複雑さ $ n $ の場合にタイトか？
• RQ2 両側イデアルの文法的複雑さに対する上限 $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ は、状態複雑さ $ n $ の場合にタイトか？
• RQ3 左イデアルおよび両側イデアルの文法的複雑さに関する予想された上限を、遷移半群の構造的分析を用いて形式的に証明できるか？
• RQ4 左イデアルおよび両側イデアルの最小DFAの遷移半群が最大サイズに達するための構造的性質は何か？

主な発見

• 商が $ n $ 個の左イデアルの文法的複雑さは最大で $ n^{n-1} + n - 1 $ であり、この上限はタイトである。
• 商が $ n $ 個の両側イデアルの文法的複雑さは最大で $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ であり、この上限はタイトである。
• 左イデアルの最小DFAの遷移半群は、その半群が集合 $ S_n $ に等しい場合にのみ最大サイズに達する。この集合の濃度は $ n^{n-1} + n - 1 $ に一致する。
• 両側イデアルの場合、最大半群サイズ $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ は、半群が $ S_n $ に等しい場合にのみ達成され、単射写像とケース分析によりこれを証明している。
• サイクル構造、固定点、および像写像に基づいて、変換を12の互いに排他的なケースに詳細に分類することで、完全性と一意性を保証している。
• 状態 $ n-1 $ に固定点を生成するように像を修正することで得られる変換 $ t $ から $ s $ への単射写像 $ f $ は、2つの異なる変換が同じ $ s $ に写像されることを防ぎ、半群のサイズを制限する上で極めて重要である。