[論文レビュー] Upper bounds on the permanent of multidimensional (0,1)-matrices

Anna A. Taranenko|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ミンクの予想を高次元に一般化することで、(0,1)-行列の永続量に対する上界を確立する。超平面の和に基づく境界を導入し、階乗の近似と帰納法を用いて漸近的推定を行う。超平面の重みが $ n $ と共に十分に速く増加する条件下で、永続量は $ n!^{d-2} e^{o(n)} \prod_{i=1}^n \lceil r_i/n^{d-2} \rceil!^{1/\lceil r_i/n^{d-2} \rceil} $ に最も速く成長することが示された。

ABSTRACT

The permanent of a multidimensional matrix is the sum of products of entries over all diagonals. By Minc's conjecture, there exists a reachable upper bound on the permanent of 2-dimensional (0,1)-matrices. In this paper we obtain some generalizations of Minc's conjecture to the multidimensional case. For this purpose we prove and compare several bounds on the permanent of multidimensional (0,1)-matrices. Most estimates can be used for matrices with nonnegative bounded entries.

研究の動機と目的

• 2次元(0,1)-行列の永続量に関するミンクの予想を、高次元の多変数行列に一般化する。
• 超平面内の1の個数に基づいて、d次元(0,1)-行列の永続量に対する上界を確立する。
• 超平面の重みに成長条件を課した下で、最大永続量の漸近的推定を開発する。
• 1以下の値をとる非負行列に対しても、再帰的構成法と階乗の境界を用いて結果を拡張する。
• 超平面の和にやや緩い成長仮定を課した場合に、提案された上界が漸近的に成り立つことを証明する。

提案手法

• 次元 $ d $ についての帰納法を用い、既知の2次元の場合（ミンクの定理）を基底ケースとする。
• d次元行列 $ A $ から(d-1)次元行列 $ B $ への写像を定義し、各要素 $ b_\beta = s_\beta!^{1/s_\beta} $ とし、$ s_\beta $ は1次元平面 $ l_\beta $ 内の1の個数とする。
• 不等式 $ x!^{1/x} \leq e^{1/x} x^{1+1/(2x)} e^{-1} $ を用いて階乗項を近似し、凹性を活用して和の上界を得る。
• 行列 $ B $ の要素を再順序化して、0または $ f(n) $ である新しい行列 $ C $ を作成し、再配置によって永続量を維持または増加させる。
• 関数の凹性を活用して、$ \sum_{\beta} g(s_\beta) \leq n^{d-2} g(r_i(n)/n^{d-2}) $ とし、$ B $ の各超平面内の要素の和を上界で抑える。
• 行列 $ C $ を $ f(n) $ でスケーリングしたものを用いて帰納法の仮定を適用し、最終的な漸近的上界 $ n!^{d-2} e^{o(n)} \prod_{i=1}^n F(r_i(n)/n^{d-2}) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元(0,1)-行列の永続量に関するミンクの予想を、高次元の多変数行列にどのように一般化できるか？
• RQ2 超平面内の1の個数に基づいて、d次元(0,1)-行列の永続量にどのような上界を導出できるか？
• RQ3 超平面の重みに成長条件を課した場合、行列サイズ $ n \to \infty $ の下でこれらの上界はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 同じ上界を、1を超えない値をとる非負行列に拡張できるか？
• RQ5 最小の超平面重みが $ n^{d-2} $ より速く増加する場合、最大永続量の漸近的成長率はどのようになるか？

主な発見

• d次元(0,1)-行列の永続量は、$ r_i $ をi番目の超平面内の1の個数として、$ \prod_{i=1}^n \lceil r_i/n^{d-2} \rceil!^{1/\lceil r_i/n^{d-2} \rceil} $ で上から抑えられる。
• 条件 $ \min_i r_i(n)/n^{d-2} \to \infty $ の下で、$ \max_{A \in \Lambda^d(n,r)} \text{per}(A) \leq n!^{d-2} e^{o(n)} \prod_{i=1}^n F\left(\frac{r_i(n)}{n^{d-2}}\right) $ は $ n \to \infty $ の下で漸近的に成り立つ。
• 超平面和が8である3次元行列に対して $ \text{per}(A) \leq 4! \cdot 2^{4/2} = 96 $ を示す予想1は、漸近的には成り立つが、永続量が74である例では正確には成立しない。
• 定理3は $ \text{per}(A) \leq 4!^2 = 576 $ という緩い上界を与えるが、これは例の行列に対しては有効ではあるがタイトではない。
• 系1は2次元の上界を、1以下の値をとる非負行列に拡張し、$ \text{per}(A) \leq \prod_{i=1}^n \lceil r_i \rceil!^{1/\lceil r_i \rceil} $ を示す。ここで $ r_i $ は行和を表す。
• 漸近的上界は $ e^{o(n)} $ 要素を除いてタイトであり、成長率は超平面の重みでスケーリングされた階乗項の積によって支配される。