[論文レビュー] Upper, down, two-sided Lorenz attractor, collisions, merging and switching

Diego Barros, Christian Bonatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2021

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ℝ^3$ 内の $C^1$-開なベクトル場の族を導入し、特異なシンボリックな吸引子（ローレンツ型）と双曲的ホースシューが、共通の2次元切断面上の経路記述に基づく力学的挙動によって、衝突・統合・役割交代を示すことを明らかにする。主な貢献は、経路記述の力学的構造に基づいた完全な位相的分類であり、切断面上の帰還写像の同相性が、吸引子の位相的同値性を完全に決定することを示している。

ABSTRACT

We present a slightly modified version of the well known "geometric Lorenz attractor". It consists in a C1 open set O of vector fields in R3 having an attracting region U containing: (1) a unique singular saddle point sigma; (2) a unique attractor Lambda containing the singular point; (3) the maximal invariant in U contains at most 2 chain recurrence classes, which are Lambda and (at most) one hyperbolic horseshoe. The horseshoe and the singular attractor have a collision along the union of 2 co-dimension 1 sub-manifolds which divide O in 3 regions. By crossing this collision locus, the attractor and the horseshoe may merge in a two-sided Lorenz attractor, or they may exchange their nature: the Lorenz attractor expel the singular point sigma and becomes a horseshoe and the horseshoe absorbs sigma becoming a Lorenz attractor. By crossing this collision locus, the attractor and the horseshoe may merge in a two-sided Lorenz attractor, or they may exchange their nature: the Lorenz attractor expel the singular point sigma and becomes a horseshoe and the horseshoe absorbs sigma becoming a Lorenz attractor.

研究の動機と目的

• 3次元における特異な双曲的吸引子が、ローレンツ型の鞍点特異点の上側および下側の安定分離曲線を一貫して交差できるかを調査すること。
• 同じ吸引領域に特異な双曲的吸引子と双曲的ホースシューが共存する場合の位相的および力学的挙動を理解すること。
• 共通の1次元分岐超曲面を越える摂動によって、吸引子とホースシューが統合されて二重側のローレンツ吸引子を形成するか、あるいは役割を入れ替える可能性のある動的結果を分類すること。
• 安定分離曲線の経路記述構造が同一であることに基づき、最大不動集合間の位相的同相性を確立すること。
• 特異な双曲的吸引子が特異点の安定多様体とどのように交差するかを根拠に、3次元流れにおける一貫したトランスティーブな特異な双曲的吸引子の完全な位相的分類を提供すること。

提案手法

• 著者らは、共通の吸引領域 $\mathcal{U}$ を持つ閉じた3次元多様体上に、一意のローレンツ型の鞍点特異点 $\sigma$ を含む $C^1$-開集合 $\mathcal{O}_1$ を構成する。
• 3次元流れを1次元の帰還写像へ還元するために、位相的アニュラスに微分同相であるグローバル切断面 $\Sigma$ を用いる。帰還写像には、安定分離曲線 $\gamma^s_\pm$ における不連続性が存在する。
• 軌道の経路記述を、$\gamma^s_+$ および $\gamma^s_-$ の2つの安定分離曲線に基づき、切断面を成分に分割して分析する。
• 安定分離曲線の経路記述の一致によって、帰還写像間の位相的同相性を確立し、穿孔された円周上の増加双対写像によって、向きを保つ同相性を保証する。
• 各点が一意に経路記述に割り当てられる性質を活用し、経路記述の単調性を応用して、1次元帰還写像間の同相写像 $h$ を構成する。
• 同相写像 $h$ を流れの軌道へ上昇させることで、連続性を保ちながら不連続集合近傍の力学的挙動を保存する、グローバルな位相的同値関係 $\mathbb{H}$ を構築する。

Figure 1: (a) Local bifurcation at ${\mathcal{H}}{\mathcal{E}}_{1}\cap{\mathcal{H}}{\mathcal{E}}_{2}$ and (b) Global bifurcation

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元における特異な双曲的吸引子は、ローレンツ型の鞍点特異点の上側および下側の安定分離曲線を一貫して交差できるか？
• RQ2 ローレンツ吸引子と双曲的ホースシューが同じ吸引領域に衝突した場合、位相的にはどのような挙動を示すか？
• RQ3 吸引子とホースシューが二重側のローレンツ吸引子に統合されるか、あるいは役割を入れ替える場合、力学的挙動はどのように変化するか？
• RQ4 同じ開集合に属する2つのベクトル場の最大不動集合が、どのような条件下で位相的同相となるか？
• RQ5 安定分離曲線の経路記述構造が、吸引子のグローバルな位相的型をどの程度決定づけるか？

主な発見

• $C^1$-開集合 $\mathcal{O}_1$ には、最大不動集合が高々2つの鎖的再結合クラスを含むベクトル場が含まれる：特異な双曲的吸引子 $\Lambda$ と高々1つの双曲的ホースシュー。
• 帰還写像の経路記述が切断面の2つの成分をカバーする場合に限り、吸引子は両方の安定分離曲線 $W^s_+(\sigma)$ および $W^s_-(\sigma)$ と交差する。
• 2つの共通の1次元分岐超曲面からなる衝突領域が存在し、その境界を越えると、吸引子とホースシューが二重側のローレンツ吸引子に統合されるか、あるいは役割を入れ替える。
• 帰還写像 $f_X$ と $f_Y$ 間の位相的同相性は、安定分離曲線 $\gamma^s_\pm$ の経路記述の一致に等しく、このような同相性は流れのグローバルな位相的同値性に上昇可能である。
• $\mathcal{O}_1$ 内の $X$ と $Y$ の最大不動集合が、恒等写像に近い同相写像によって位相的に同値であるための必要十分条件は、$X$ と $Y$ が $\gamma^s_+$ および $\gamma^s_-$ に対して同一の経路記述を持つことである。
• 構成法により、吸引子の位相的型が安定分離曲線の経路記述データによって完全に決定されることを証明し、記号的力学に基づく完全な分類を確立した。

Figure 4: (a) The cross-sections $\Sigma\cup D^{1}\cup D^{2}$ , (b) The image $P(\Sigma^{1}\cup\Sigma^{2})$ .