[論文レビュー] Upper motives of algebraic groups and incompressibility of Severi-Brauer varieties

Nikita A. Karpenko|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、半単純代数群の内型に関する、射影的同調的多様体の $\mathbb{F}_p$ 係数を用いたチャウモチーフ分解を決定する。特に、中心的単純代数の一般化セーベリ＝ブレーア多様体に注目する。中心的除法代数 $D$ の次数が $p^n$ であるとき、多様体 $X(p^m; D)$ がすべての $m = 0, \dots, n$ に対して $p$-不縮小可能であることを、モチーフ分解とモチーフのランクの $p$-進付値を用いて示し、代数幾何学およびモチーフ理論における重要な構造的問題を解決する。

ABSTRACT

Let G be a semisimple affine algebraic group of inner type over a field F. We write C for the class of all finite direct products of projective G-homogeneous F-varieties. We determine the structure of the Chow motives with coefficients in a finite field of the varieties in C. More precisely, it is known that the motive of any variety in C decomposes (in a unique way) into a sum of indecomposable motives, and we describe the indecomposable summands which appear in the decompositions. In the case where G is the group of automorphisms of a given central simple F-algebra A, for any variety in the class C (which includes the generalized Severi-Brauer varieties of the algebra A) we determine its canonical dimension at any prime p. In particular, we find out which varieties in C are p-incompressible. If A is a division algebra of degree p^n for some n, then the list of p-incompressible varieties includes the generalized Severi-Brauer variety X(p^m; A) of ideals of reduced dimension p^m for m=0,1,...,n.

研究の動機と目的

• 体 $F$ 上の内型の半単純代数群 $G$ に対する射影的 $G$-同調的多様体のチャウモチーフ分解における非分解和成分を記述すること。
• 中心的単純代数に付随する一般化セーベリ＝ブレーア多様体の標準的 $p$-次元（または $p$ における標準次元）を特定すること。
• 中心的除法代数 $D$ の次数が $p^n$ であるとき、多様体 $X(p^m; D)$ の $p$-不縮小可能性を確立すること。
• これらの多様体のモチーフ分解に現れる非分解モチーフのランクの $p$-進付値を計算すること。
• $n \geq 4$ の場合に、非分解モチーフを有する一般化セーベリ＝ブレーア多様体の新しい例を提供すること。

提案手法

• 射影的 $G$-同調的多様体のモチーフ分解における $0$-余次元チャウ群が非ゼロである和成分として、$\mathbb{F}_p$ 係数のチャウモチーフの圏内に非分解モチーフ $M_\tau$ を構成する。
• モチーフの非分解和成分への一意的分解を用いて、このような多様体の有限直積のモチーフ構造を記述する。
• 除法代数 $D$ の次数に関する帰納法を用い、同時に二つの構造的結果を証明する：最高次元チャウ群の非消滅性とモチーフランクの $p$-進付値の計算。
• $\operatorname{ind}(D_L) = p^{n-1}$ を満たす体拡大 $L/F$ へのベースチェンジを適用し、$L$ 上のモチーフ分解を比較し、特定のモチーフのコピー数を分析する。
• $r \geq 2$ かつ $m < n$ のとき、$X(p^{m-1}, C)^{\times r}$ 内の $M_{m-1,C}$ のコピー数は $p$ で割り切れるという事実を用い、モチーフランクの $p$-進付値を活用する。
• 体拡大 $L$ 上での $X(p^m; D)$ のモチーフ分解を適用し、$M_{0,C}$ のシフトが $M_{1,C}$ の和成分に含まれないことを示し、$n \geq 4$ の場合の非分解性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内型の半単純代数群に対する射影的 $G$-同調的多様体のチャウモチーフ分解に現れる非分解モチーフはどれか？
• RQ2 中心的除法代数 $D$ の次数が $p^n$ であるとき、一般化セーベリ＝ブレーア多様体 $X(p^m; D)$ の標準的 $p$-次元は何か？
• RQ3 中心的除法代数 $D$ の次数が $p^n$ であるとき、どの $m$ に対して多様体 $X(p^m; D)$ は $p$-不縮小可能か？
• RQ4 多様体 $X(p^m; D)$ に付随する非分解モチーフ $M_{m,D}$ のランクの $p$-進付値は何か？
• RQ5 $n \geq 4$ のとき、中心的除法代数 $D$ の次数が $2^n$ である場合、$X(2; D)$ のモチーフは非分解的か？

主な発見

• 中心的除法代数 $D$ の次数が $p^n$ であるとき、すべての $m = 0, 1, \dots, n$ に対して多様体 $X(p^m; D)$ は $p$-不縮小可能である。
• $X(p^m; D)$ の標準的 $p$-次元は $p^m(p^n - p^m)$ であり、これはその次元に等しい。
• 非分解モチーフ $M_{m,D}$ の $d$-次元チャウ群（$d = \dim X(p^m; D)$）は非ゼロであり、これは $p$-不縮小可能性と同値である。
• モチーフ $M_{m,D}$ のランクの $p$-進付値は $n - m$ である。
• $n \geq 4$ の場合、$\mathbb{F}_2$ 係数における $X(2; D)$ のモチーフは非分解的であり、$n = 1, 2, 3$ の既知の結果を拡張する。
• $\operatorname{ind}(D_L) = p^{n-1}$ を満たす体拡大 $L$ 上での $X(p^m; D)$ のモチーフ分解は、$X(p^m; D)_L$ 内の $M_{m-1,C}$ のコピー数が $p$ で割り切れることを示し、主な不縮小可能性結果を支持する。