[論文レビュー] Upper semi-continuity of random attractors and existence of invariant measures for nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equation with multiplicative noise

Jintao Wang, Chunqiu Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 60被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、乗法的ノイズを伴う2次元非局所確率的Swift-Hohenberg方程式に対して、確率的アトラクターの上半連続性およびエルゴード不変測度の存在を確立する。修正された確率的グローバルの補題と解析的半群理論を用いて、ノイズ強度 𝜖 → 0 のとき、H₀²(U) における確率的アトラクターが上半連続に収束することを証明し、正および非負核の両方に対して L²(U) にエルゴード不変測度が存在することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we mainly study the long-time dynamical behaviors of 2D nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equations with multiplicative noise from two perspectives. Firstly, by adopting the analytic semigroup theory, we prove the upper semi-continuity of random attractors in the Sobolev space $H_0^2(U)$, as the coefficient of the multiplicative noise approaches zero. Then, we extend the classical "stochastic Gronwall's lemma", making it more convenient in applications. Based on this improvement, we are allowed to use the analytic semigroup theory to establish the existence of ergodic invariant measures.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う2次元非局所確率的Swift-Hohenberg方程式の長時間ダイナミクスを解析すること。
• ノイズ係数 𝜖 → 0 のとき、Sobolev空間 H₀²(U) における確率的アトラクターの上半連続性を確立すること。
• Krylov-Bogoliubov手続きを用いて、確率的系におけるエルゴード不変測度の存在を証明すること。
• 古典的確率的グローバルの補題を、乗法的ノイズおよび L²(Ω) の外力下での H₀²(U)-ノルム推定に適応する形に拡張すること。
• 正核 (Gp) および特別な非負核 (Gn) の2つの異なる核仮定の下で、両結果が成り立つことを示すこと。

提案手法

• オーランシュタイン＝ウーレンの確率微分方程式の解を用いて、SPDE (1.2) を確率的PDEに変換する。
• 境界項の取り扱いを容易にするために、H₀²(U) ∩ H⁴(U) 上における生成作用素 Δ² の分数次冪に関する解析的半群理論を用いる。
• 停止時刻の条件を緩和できる新しいバージョンの確率的グローバルの補題 (補題4.2) を開発し、H₀²(U)-ノルム推定を可能にする。
• Markov遷移半群のFeller性に依拠して、L²(U) 上に不変測度を構成するKrylov-Bogoliubov手続きを用いる。
• [24, 系11.12] および Krein-Milman 定理を適用し、不変測度集合の極端点としてエルゴード不変測度の存在を証明する。
• 不変測度集合 I がtightかつ閉じていることを確認し、Krein-Milmanの議論に不可欠なコンパクト性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う非局所確率的Swift-Hohenberg方程式の確率的アトラクターは、ノイズ強度 𝜖 → 0 のとき H₀²(U) で上半連続に収束するか？
• RQ2 古典的確率的グローバルの補題は、乗法的ノイズおよび L²(Ω) の外力下での解の H₀²(U)-ノルム推定に適応可能か？
• RQ3 正核 (Gp) および非負核 (Gn) の両仮定の下で、確率的系にエルゴード不変測度が存在するか？
• RQ4 確率的力学系における確率的アトラクターと不変測度集合の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 不変測度集合 Iₖ は 𝜖 → 0 のとき上半連続か？また、それは決定的系の不変測度に収束するか？

主な発見

• 𝜖 → 0 のとき、H₀²(U) における確率的アトラクター Aₖ(ω) は上半連続であり、長時間ダイナミクスが決定的極限に安定化することを意味する。
• 短い時間区間での不等式条件のみを要件とする修正された確率的グローバルの補題 (補題4.2) が開発され、H₀²(U)-ノルムの制御が可能になった。
• 正核 (Gp) および特別な非負核 (Gn) の両仮定の下で、0 < 𝜖 ≤ 1 のとき、プロセス Φₖ に対して L²(U) にエルゴード不変測度が存在する。
• Feller性と不変測度集合のコンパクト性に依拠して、Krylov-Bogoliubov手続きを用いてエルゴード不変測度の存在が証明された。
• 不変測度集合 I は空でなく、凸かつ閉かつtightであり、Krein-Milman定理により極端点（すなわち、エルゴード不変測度）の存在が保証された。
• 両核タイプに対して結果が成り立ち、主な推定式 (4.7) および (4.33) が適切に調整されており、手法の頑健性が確認された。