[論文レビュー] Upper Semicontinuity of Random Attractors for Non-compact Random Dynamical Systems

Bixiang Wang|ArXiv.org|Jun 18, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 59

ひとこと要約

この論文は、非コンパクトな確率的反応拡散方程式に対して、$\mathbb{R}^{n}$ 上で、ノイズ強度 $\epsilon \to 0$ のときのランダムアトラクターの上半連続性を確立する。境界のない領域におけるコンパクトでないソボレフ埋め込みの欠如を克服するため、カットオフ技術を用いた一様遠方推定を導入することで、摂動を受けたアトラクターが確率1で $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$-ノルムにおいて決定的アトラクターに収束することを証明する。

ABSTRACT

The upper semicontinuity of random attractors for non-compact random dynamical systems is proved when the union of all perturbed random attractors is precompact with probability one. This result is applied to the stochastic Reaction-Diffusion with white noise defined on the entire space R^n.

研究の動機と目的

• 境界のない領域における確率的偏微分方程式のランダムアトラクターの上半連続性を確立すること。標準的なコンパクト性の議論が成立しない状況を想定する。
• $\mathbb{R}^n$ における非コンパクトなソボレフ埋め込みの問題を扱い、古典的アトラクター理論の直接適用を不可能にする要因を特定すること。
• $\epsilon \to 0$ のとき、確率的摂動を受けた反応拡散方程式のランダムアトラクターが決定的アトラクターに収束することを証明すること。
• 摂動されたアトラクター内における解の遠方減衰に関する一様推定を確立し、前コンパクト性を保証すること。
• 確率的力学系の文脈において、上半連続性理論を有界領域から非有界領域へ拡張すること。

提案手法

• カットオフ技術を用いて、摂動されたアトラクター内の関数が空間無限遠で一様に消えることを保証する、遠方における一様推定を導出する。
• 指数的減衰と $L^2(\mathbb{R}^n)$ 内のエネルギー推定を活用し、時間にわたる $L^p$-ノルムに対する一様バウンディングを確立する。
• 長期間における解の振る舞いを制御するため、温度付きランダム集合と吸収集合の概念を適用する。
• ウィーナー過程がオーレンシュタイン＝オーレンシュタイン変換を介してノイズを駆動する、$L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の連続的確率力学系（RDS）理論を用いる。
• 摂動された系と元の系の解を比較するため、差 $W = u^\epsilon - u - \epsilon z(\theta_t\omega)$ を導入し、$\|W\|^2$ に対する微分不等式を導出する。
• グローヴァル型推定を適用し、$\|u^\epsilon(t,\omega,u_0^\epsilon) - u(t,u_0)\|_{L^2}$ が、コンパクト時間区間上で一様に $\epsilon \to 0$ のときゼロに収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域 $\mathbb{R}^n$ 上の確率的偏微分方程式に対して、ランダムアトラクターの上半連続性を確立できるか？
• RQ2 非コンパクトなランダム力学系の漸近的コンパクト性を証明するにあたり、ソボレフ埋め込みの非コンパクト性をどのように克服できるか？
• RQ3 非有界領域における摂動されたランダムアトラクターの合併集合の前コンパクト性を保証するには、どのような一様推定が必要か？
• RQ4 ノイズ強度 $\epsilon \to 0$ のとき、確率的反応拡散方程式のランダムアトラクターは決定的アトラクターに収束するか？
• RQ5 解の差 $\|u^\epsilon - u\|_{L^2}$ が $\epsilon \to 0$ の極限でゼロに収束するための条件は何か？

主な発見

• すべての摂動されたアトラクターの合併集合が確率1で前コンパクトである限り、非コンパクトなランダム力学系においてランダムアトラクターの上半連続性が成立する。
• カットオフ技術を用いて、摂動されたアトラクター内における解の遠方の一様推定を確立し、関数が空間無限遠で一様に減衰することを保証する。
• 解の差 $\|u^\epsilon(t,\omega,u_0^\epsilon) - u(t,u_0)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}$ は、$4e^{ct}\|u_0^\epsilon - u_0\|^2 + \epsilon c_9 e^{c_8 t}(r(\omega) + \|u_0^\epsilon\|^2 + \|u_0\|^2)$ で抑えられ、$\epsilon \to 0$ のときゼロに収束する。
• 確率 $P$-ほとんど everywhere な $\omega \in \Omega$ に対して、$\lim_{\epsilon \to 0} \text{dist}_{L^2(\mathbb{R}^n)}(\mathcal{A}_\epsilon(\omega), \mathcal{A}) = 0$ が成り立ち、アトラクターの $L^2$-ノルムにおける収束を証明する。
• 結果は、加法的ホワイトノイズを伴う $\mathbb{R}^n$ 上の確率的反応拡散方程式に適用され、$\epsilon \to 0$ のときランダムアトラクターが決定的アトラクターに収束することを確認する。
• 証明は、温度付き吸収集合の存在と $L^p$-ノルムに関する一様推定に依存しており、これらが上半連続性に必要な前コンパクト性を保証する。