[論文レビュー] Upper triangular matrices and Billiard Arrays

Yang Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、体 F 上の (d+1) 次元ベクトル空間上のビリヤード配列の同型類と非常に良い上三角行列の間の対応関係を確立する。このような行列は、3つの完全に反対のフラッグを誘導する。それらのフラッグは、ビリヤード配列を生成し、その B-値（スカラーパラメータ）は行列の成分を用いて明示的に計算される。主な貢献は、対角スケーリングに関する同値類としての非常に良い上三角行列と、ビリヤード配列の同型類との間の全単射対応を確立することにある。

ABSTRACT

Fix a nonnegative integer $d$, a field $\mathbb{F}$, and a vector space $V$ over $\mathbb{F}$ with dimension $d+1$. Let $T$ denote an invertible upper triangular matrix in ${ m Mat}_{d+1}(\mathbb{F})$. Using $T$ we construct three flags on $V$. We find a necessary and sufficient condition on $T$ for these three flags to be totally opposite. In this case, we use these three totally opposite flags to construct a Billiard Array $B$ on $V$. It is known that $B$ is determined up to isomorphism by a certain triangular array of scalar parameters called the $B$-values. We compute these $B$-values in terms of the entries of $T$. We describe the set of isomorphism classes of Billiard Arrays in terms of upper triangular matrices.

研究の動機と目的

• 可逆な上三角行列 T が (d+1) 次元ベクトル空間 V に3つの完全に反対のフラッグを誘導する条件を特定すること。
• このようなフラッグから構成されるビリヤード配列の B-値を、行列の成分の関数として計算すること。
• 対角スケーリングに関する同値類としての非常に良い上三角行列と、ビリヤード配列の同型類との間の全単射を確立すること。
• q-二項係数を用いて、すべての B-値が q⁻¹ に等しくなる明示的な例を提示すること。

提案手法

• 可逆な上三角行列 T から、標準基底、その逆順、および T による像基底から、次元 d+1 のベクトル空間 V に3つのフラッグを構成する。
• すべての主小行列が可逆である場合にのみ、行列 T を「非常に良い」と定義する。これにより、3つのフラッグが完全に反対であることが保証される。
• 完全に反対のフラッグの理論を用いて、V 上にビリヤード配列 B を構成する。このビリヤード配列は、その B-値によって、同型を除いて一意に定まる。
• B-値を、行列 T の部分行列の行列式を含む公式を用いて明示的に計算する。具体的には、0 ≤ i ≤ j ≤ d に対して det(T[i,j]) を用いる。
• 可逆な対角行列 H, K を用いた左および右乗算により、非常に良い上三角行列の集合に同値関係 ∼ を定義する。
• 行列の同値類からビリヤード配列の同型類への写像が全単射であることを示す可換図式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆な上三角行列 T がベクトル空間 V に誘導する3つのフラッグが完全に反対であるための条件は何か？
• RQ2 このようなフラッグから構成されるビリヤード配列の B-値は、行列 T の成分をどのように表すことができるか？
• RQ3 対角スケーリングに関する同値類としての非常に良い上三角行列と、ビリヤード配列の同型類との間の関係は何か？
• RQ4 各同型類のビリヤード配列に対して、標準的な行列表現が存在するか？もしあるならば、どのように構成されるか？
• RQ5 行列の成分が q-二項係数である場合、B-値はどのように変化するか？

主な発見

• 可逆な上三角行列 T が誘導する3つのフラッグが完全に反対であるための必要十分条件は、T が「非常に良い」こと、すなわちすべての主小行列が可逆であることである。
• このようなフラッグから構成されるビリヤード配列の B-値は、T の部分行列の行列式を含む公式によって与えられる。具体的には、B-値は 0 ≤ i ≤ j ≤ d に対して det(T[i,j]) によって決定される。
• T_{ij} = {j rack i}_q（q-二項係数）である行列 T に対して、対応するビリヤード配列のすべての B-値は q⁻¹ に等しい。
• V 上のビリヤード配列の同型類の集合は、同値関係 T ∼ T' すなわち T' = H T K（H, K は可逆な対角行列）の下での非常に良い上三角行列の同値類の集合と、全単射で対応する。
• 部分行列 T[i,j]（行 i から j、列 i から j）の行列式は、det(T[i,j]) = q^{i(j-i)(j-i+1)/2} で与えられる。
• q = 1 のとき、行列の成分は二項係数に等しくなり、対応するビリヤード配列のすべての B-値は 1 に等しくなる。